Question

В куче картофеля имеется 20% клубней пораженных болезнью. Какова вероятность того, что среди 5-ти наугад взятых клубней окажутся 2 клубня пораженных болезнью.

Answer 1

РЕШЕНИЕ
"Больных" -  р = 20% = 0,2,"здоровых" - q = 1 - p = 0,8.
Берут 5 раз, вероятность двух "больных" -  найти.
Для общего понимания задачи применим формулу ПОЛНОЙ вероятности.
Для этого раскладываем на слагаемые бином ПЯТОЙ степени.
P = (p+q)⁵= p⁵+5*p⁴*q+10*p³*q²+10*p²*q³+5*p*q⁴+q⁵= 1
В этой  формуле можно "увидеть" ВСЕ возможные варианты из пяти событий. Например,
p⁵= 0,2⁵ = 0,00032 - все пять "больных".
q⁵ =0,8⁵ = 0,3276 - все пять "здоровых".
По условию задачи - из  пяти два "больных"- это 
P₅² = 10*p²*q³ = 10*0,04*0,512 = 0,2048 ≈ 20,5% - ОТВЕТ
В приложении - диаграмма распределения вероятностей для для n=5 и р =0,2 
Из диаграммы видно, что  наиболее вероятно будет 4 "больных" из пяти = 20%.

Answer 2

Задача

В куче картофеля имеется 20% клубней, пораженных болезнью. Какова вероятность того, что среди 5-ти наугад взятых клубней окажутся 2 клубня, пораженных болезнью?

Решение

Для решения данной задачи, мы можем использовать биномиальное распределение. Вероятность того, что среди 5 клубней окажутся 2 клубня, пораженных болезнью, можно вычислить по формуле:

P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

где: - P(X=k) - вероятность того, что среди n клубней окажется k клубней, пораженных болезнью, - C(n, k) - количество сочетаний из n по k, - p - вероятность того, что клубень поражен болезнью, - n - общее количество клубней.

В данной задаче, вероятность того, что клубень поражен болезнью составляет 20%, то есть p = 0.2. Также, нам известно, что мы выбираем 5 клубней.

Теперь, мы можем подставить значения в формулу и вычислить вероятность:

P(X=2) = C(5, 2) * 0.2^2 * (1-0.2)^(5-2)

Вычислим каждую часть формулы по отдельности:

C(5, 2) - количество сочетаний из 5 по 2. Это можно вычислить по формуле:

C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

В нашем случае, n = 5 и k = 2. Подставим значения в формулу:

C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 5! / (2! * 3!) = (5 * 4 * 3!) / (2! * 3!) = (5 * 4) / 2 = 10

Теперь, вычислим оставшиеся части формулы:

0.2^2 = 0.04

(1-0.2)^(5-2) = 0.8^3 = 0.512

Теперь, подставим все значения в формулу:

P(X=2) = 10 * 0.04 * 0.512 = 0.2048

Таким образом, вероятность того, что среди 5 наугад взятых клубней окажутся 2 клубня, пораженных болезнью, составляет 0.2048 или 20.48%.