Question

Вычислить неопределенный интеграл ((x^2)+1)/(x*(x-1)*(x+2))

Answer 1

$\int \frac{x^2+1}{x(x-1)(x+2)}dx=\int (\frac{A}{x}+\frac{b}{x-1}+\frac{C}{x+2})dx=J\\\\x=0,\; A=\frac{0^2+1}{(0-1)(0+2)}=-\frac{1}{2}\\\\x=1,\; B=\frac{1^2+1}{1\cdot (1+2)}=\frac{2}{3}\\\\x=-2,\; C=\frac{(-2)^2+1}{-2(-2-1)}=\frac{5}{6}\\\\J=\int (-\frac{1}{2x}+\frac{2}{3(x-1)}+\frac{5}{6(x+2)})dx=\\\\=-\frac{1}{2}ln|x|+\frac{2}{3}ln|x-1|+\frac{5}{6}ln|x+2|+C$

Answer 2

Для вычисления неопределенного интеграла от функции ((x^2)+1)/(x*(x-1)*(x+2)), мы можем разложить её в сумму простых дробей.

Разложение на простые дроби

Сначала разложим функцию на простые дроби следующим образом:

((x^2)+1)/(x*(x-1)*(x+2)) = A/x + B/(x-1) + C/(x+2)

где A, B и C - коэффициенты простых дробей, которые мы должны найти.

Нахождение коэффициентов A, B и C

Чтобы найти коэффициенты A, B и C, мы можем привести исходное уравнение к общему знаменателю и сравнить коэффициенты при одинаковых степенях x.

((x^2)+1) = A*(x-1)*(x+2) + B*x*(x+2) + C*x*(x-1)

Мы можем выбрать различные значения x, чтобы упростить вычисления. Давайте выберем x=0, x=1 и x=-2.

Подстановка x=0:

1 = A*(-1)*(2)

Подстановка x=1:

2 = B*(1)*(3)

Подстановка x=-2:

5 = C*(-2)*(-3)

Решение системы уравнений

Решая данную систему уравнений, мы получаем A = -1/2, B = 2/3 и C = 5/6.

Интегрирование

Теперь мы можем записать исходную функцию как сумму простых дробей:

((x^2)+1)/(x*(x-1)*(x+2)) = -1/2 * 1/x + 2/3 * 1/(x-1) + 5/6 * 1/(x+2)

Интегрируя каждую простую дробь по отдельности, получим неопределенный интеграл:

∫[((x^2)+1)/(x*(x-1)*(x+2))]dx = -1/2 * ln|x| + 2/3 * ln|x-1| + 5/6 * ln|x+2| + C

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, неопределенный интеграл от функции ((x^2)+1)/(x*(x-1)*(x+2)) равен -1/2 * ln|x| + 2/3 * ln|x-1| + 5/6 * ln|x+2| + C.