Question

Решите неравенство (x^2 - 5x)^11 > (2x^2 - 7x)^11

Answer 1

Применен метод интервалов

Answer 2

Давайте решим это неравенство шаг за шагом.

1. Возведение в степень: Обратимся к общему правилу возведения в степень суммы двух чисел: (a + b)^n = a^n + C(n, 1)a^{n-1}b + C(n, 2)a^{n-2}b^2 + ... + C(n, n-1)ab^{n-1} + b^n, где C(n, k) обозначает биномиальный коэффициент "n по k".

2. Применим это правило к каждому слагаемому в неравенстве: (x^2 - 5x)^11 > (2x^2 - 7x)^11 => (x^2 - 5x)^11 - (2x^2 - 7x)^11 > 0

3. Воспользуемся биномиальной формулой и раскроем каждое слагаемое в обоих частях неравенства: (x^2)^11 - C(11, 1)(x^2)^10(5x) + C(11, 2)(x^2)^9(5x)^2 - ... - C(11, 10)(x^2)(5x)^{10} + (-5x)^11 > (2x^2)^11 - C(11, 1)(2x^2)^10(7x) + C(11, 2)(2x^2)^9(7x)^2 - ... - C(11, 10)(2x^2)(7x)^{10} + (-7x)^11

4. Обратим внимание, что в каждом слагаемом разные степени x. Перенесем все слагаемые на одну сторону неравенства, чтобы уравнять степени x и сократить их: (x^22 - C(11, 1)(x^20)(5) + C(11, 2)(x^18)(25) - ... - C(11, 10)(x^2)(5^10) + (-5^11) - (2^11)(x^22 - C(11, 1)(x^20)(7) + C(11, 2)(x^18)(49) - ... - C(11, 10)(x^2)(7^10) + (-7^11)) > 0

5. Упростим выражение: (x^22 - 11*5*x^20 + 55*25*x^18 - ... - 11*5^10*x^2 + (-5^11) - (2^11)(x^22 - 11*7*x^20 + 55*49*x^18 - ... - 11*7^10*x^2 + (-7^11))) > 0

6. Обратим внимание, что все слагаемые содержат x^2 в степени не меньше 2. Поэтому мы можем сократить наше выражение следующим образом: x^22 - 11*5*x^20 + 55*25*x^18 - ... - 11*5^10*x^2 + (-5^11) - (2^11)(x^22 - 11*7*x^20 + 55*49*x^18 - ... - 11*7^10*x^2 + (-7^11)) > 0

7. Обратим внимание, что каждое слагаемое в скобках имеет одинаковый коэффициент, но с противоположным знаком. Поэтому мы можем сократить наше выражение дальше: x^22 - 11*5*x^20 + 55*25*x^18 - ... - 11*5^10*x^2 + (-5^11) - (2^11)(x^22 - 11*7*x^20 + 55*49*x^18 - ... - 11*7^10*x^2 + (-7^11)) > 0

8. Теперь мы можем сократить общие слагаемые: -11*5*x^20 + 55*25*x^18 - ... - 11*5^10*x^2 + (-5^11) - (2^11)(-11*7*x^20 + 55*49*x^18 - ... - 11*7^10*x^2 + (-7^11)) > 0

9. Теперь у нас есть неравенство, которое можно решить. Однако, для получения конкретного численного решения, необходимо использовать численные методы или график функции.

Это подробное решение неравенства (x^2 - 5x)^11 > (2x^2 - 7x)^11. Если вам нужны более конкретные численные значения, вы можете использовать численные методы или график функции для получения решения.