Question

Найдите критические точки функции f(x)=4x^4-2x^2+3

Answer 1

Чтобы найти критические точки функции (или точки экстремума), нужно найти производную функции. Я напишу ее сразу, если непонятно, пиши, я объясню:
f'(x)=16x^3-4x
Затем приравниваем производную к нулю:
16x^3-4x=0, выносим общий множитель х за скобки
х(16x^2-4)=0
Выражение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю
x=0 ИЛИ 
16x^2-4=0
16x^2=4
x^2=4/16
x^2=0,25
x=+-0,5

Получили три корня. Отмечаем их на числовой прямой в порядке возрастания слева направо, т.е. сначала -0,5, потом 0 и затем 0,5.
Между числами получаем промежутки. Из этих промежутков мы подбираем любое число и подставляем их в производную. В зависимости от того, положительный получился ответ или отрицательный, ставим знаки "+"/"-". 
в нашем случае знаки получаем следующие: - + - +
То есть у нас два минимальных значения х - это (-0,5) и (0,5). Максимальный х равен 0. 
Чтобы найти критические значения функции, подставляем значения в функцию.
При x(min)=(0,5), y(min)=2,75
При x(min)=(-0,5), y(min)=2,75
При x(max)=0, y(max)=3

Answer 2

Для нахождения критических точек функции f(x) = 4x^4 - 2x^2 + 3, мы должны найти значения x, где производная функции равна нулю или не существует. Критические точки указывают на экстремумы функции, такие как локальные минимумы или максимумы, или точки перегиба.

Нахождение производной функции f(x)

Для начала найдем производную функции f(x), чтобы найти точки, где производная равна нулю или не существует. Производная функции f(x) будет равна:

f'(x) = 16x^3 - 4x

Нахождение значений x, где производная равна нулю или не существует

Чтобы найти значения x, где производная равна нулю или не существует, мы должны решить уравнение f'(x) = 0. Давайте решим это уравнение:

16x^3 - 4x = 0

Факторизуем это уравнение:

4x(4x^2 - 1) = 0

Теперь решим каждый множитель отдельно:

1) 4x = 0

Это уравнение дает нам x = 0.

2) 4x^2 - 1 = 0

Вычислим квадратный корень с обоих сторон:

4x^2 = 1

x^2 = 1/4

x = ±1/2

Таким образом, мы получаем три значения x, где производная равна нулю или не существует: x = 0, x = 1/2 и x = -1/2. Это будут наши критические точки функции f(x).

Определение типа экстремума или точек перегиба

Чтобы определить тип экстремума или точек перегиба в этих критических точках, нам понадобится информация о второй производной функции f(x). Давайте найдем вторую производную:

f''(x) = 48x^2 - 4

Определение типа экстремума или точек перегиба в каждой критической точке

Теперь мы можем определить тип экстремума или точек перегиба в каждой из критических точек, подставив их во вторую производную:

1) Для x = 0:

f''(0) = 48(0)^2 - 4 = -4

Знак отрицателен, поэтому у нас есть локальный максимум в точке x = 0.

2) Для x = 1/2:

f''(1/2) = 48(1/2)^2 - 4 = 8 - 4 = 4

Знак положителен, поэтому у нас есть локальный минимум в точке x = 1/2.

3) Для x = -1/2:

f''(-1/2) = 48(-1/2)^2 - 4 = 8 - 4 = 4

Знак положителен, поэтому у нас есть локальный минимум в точке x = -1/2.

Таким образом, у функции f(x) = 4x^4 - 2x^2 + 3 есть локальный максимум в точке x = 0 и локальные минимумы в точках x = 1/2 и x = -1/2. Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.