Question

Постройте график функции у= х^2-2х-3. С помощью графика найдите: а) промежутки возрастания и убывания функции. б) наименьшее значение функции. в) при каких значениях х у<0

Answer 1

у= х²-2х-3

1. график парабола, ветви вверх

2. чертим систему координат, отмечаем стрелками положительное направление: вправо и вверх; подписываем оси : вправо - х, вверх -у; отмечаем начало координат - точку О(0; 0) и единичные отрезки по кадой оси в 1 клетку.

3. найдем вершину параболы

х(в) = -b/2a   х(в) = 2/2 = 1

у(в) = 1-2-3= -4

В(1;-4)

4) найдем нули функции:

    х²-2х-3=0

    Д = 4+12=16=4²

    х(1) = (2-4)/2 = -1/2

    х(2) = (2+4) / 2 = 3

    (-1/2; 0) и (3; 0)  - нули функции

5) Отметим  в системе координат вершину и нули функции

6) Проведём относительно вершины "новую" систему координат и в ней построим график функции у=х². Этот график обязательно пройдет через точки (-1/2; 0) и (3; 0).

7) подпишем график у=х²-2х-3.

Теперь ответим по графику на вопросы:

а) функция возраст при х∈(1;+∞)

    функция убывает при х∈(-∞; 1)

б) у(наим) = -4 и достигается в точке х=1

в) у<0 при х∈(-1/2; 3)

Answer 2

Для построения графика функции у = х^2 - 2х - 3, мы можем использовать несколько подходов. Один из них - это построение таблицы значений функции и построение графика на основе этих значений. Другой подход - использование метода дискриминанта для определения вершины параболы и направления ее выпуклости.

Построение графика функции

Для начала, давайте составим таблицу значений функции у = х^2 - 2х - 3. Для этого выберем несколько значений х и вычислим соответствующие значения у.

|x | у | |------|-------| |-2 | 11 | |-1 | -6 | |0 | -3 | |1 | -4 | |2 | -3 | |3 | 0 |

Теперь, используя эти значения, давайте построим график функции.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Создание массива значений х от -4 до 4 с шагом 0.1
x = np.arange(-4, 4, 0.1)

# Вычисление значений у
y = x**2 - 2*x - 3

# Построение графика
plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График функции у = х^2 - 2х - 3')
plt.grid(True)
plt.show()

Построенный график будет выглядеть следующим образом:


Промежутки возрастания и убывания функции

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, мы должны проанализировать график функции. На графике мы видим, что функция возрастает на интервалах (-бесконечность, -1) и (1, +бесконечность), а убывает на интервале (-1, 1).

Наименьшее значение функции

Наименьшее значение функции соответствует вершине параболы. Чтобы найти вершину параболы, мы можем использовать формулу х = -b / (2*a), где a и b - коэффициенты при x^2 и x соответственно.

В данном случае, у нас a = 1 и b = -2. Подставляя значения в формулу, получим х = -(-2) / (2*1) = 1.

Теперь, чтобы найти значение у в этой точке, мы можем подставить полученное значение х в исходную функцию: у = 1^2 - 2*1 - 3 = -4.

Таким образом, наименьшее значение функции равно -4.

Значения х, при которых у < 0

Чтобы найти значения х, при которых у < 0, мы должны найти интервалы на графике, где функция находится ниже оси у = 0. Из графика видно, что это происходит на интервалах (-бесконечность, -1) и (3, +бесконечность). Таким образом, при значениях х меньше -1 и больше 3, у < 0.

Вот подробный ответ на ваш вопрос о графике функции у = х^2 - 2х - 3. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!