Question

Докажите, что вектор (9;-9) является собственным для матрицы 0 2 2 0 Найдите собственное число, отвечающее ему.

Answer 1

Решение в приложении. Должно быть понятно

Answer 2

Доказательство собственности вектора:

Для доказательства того, что вектор (9, -9) является собственным для матрицы \[ \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \] мы можем использовать определение собственного вектора. Вектор \( v \) является собственным для матрицы \( A \) с собственным числом \( \lambda \), если выполняется уравнение \( Av = \lambda v \).

Давайте проверим, является ли вектор (9, -9) собственным для данной матрицы:

1. Умножим матрицу на вектор (9, -9): \[ \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 9 \\ -9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -18 \\ 18 \end{pmatrix} \]

2. Теперь сравним полученный результат с умножением вектора (9, -9) на собственное число \( \lambda \): \[ \lambda \begin{pmatrix} 9 \\ -9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9\lambda \\ -9\lambda \end{pmatrix} \]

Сравнивая результаты, мы видим, что для \( \lambda = -2 \) выполняется уравнение: \[ \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 9 \\ -9 \end{pmatrix} = -2 \begin{pmatrix} 9 \\ -9 \end{pmatrix} \]

Таким образом, вектор (9, -9) является собственным для матрицы, а собственное число \( \lambda \), отвечающее ему, равно -2.

Пожалуйста, дайте мне знать, если у вас есть еще вопросы или если вам нужна дополнительная информация!