Question

Вычислить интеграл от 1 до 2 (x^3+3x^2)/(x+3) *dx

Answer 1

$\int\limits^2_1 { \frac{ x^{3}+3 x^{2} }{x+3} } \, dx = \int\limits^2_1 { \frac{ x^{2}(x+3) }{x+3} } \, dx = \int\limits^2_1 { x^{2} } \, dx = \frac{ x^{3} }{3} \int\limits^2_1= \frac{ 2^{3} }{3} - \frac{1}{3} = \frac{8-1}{3} = \frac{7}{3}$

Answer 2

Для вычисления данного интеграла, нам понадобится использовать метод частичных дробей.

Метод частичных дробей

1. Сначала разложим выражение (x^3 + 3x^2) / (x + 3) на простые дроби. Представим его в виде суммы двух дробей: (x^3 + 3x^2) / (x + 3) = A / (x + 3) + Bx^2 / (x + 3)

2. Приведем общий знаменатель и сложим дроби: (x^3 + 3x^2) / (x + 3) = (A + Bx^2) / (x + 3)

3. Раскроем скобку в числителе: x^3 + 3x^2 = (A + Bx^2)(x + 3)

4. Раскроем скобку и приравняем коэффициенты при соответствующих степенях x: x^3 + 3x^2 = Ax + 3A + Bx^3 + 3Bx^2

5. Сгруппируем подобные слагаемые: (1 + B)x^3 + (3 + 3B)x^2 + Ax + 3A = x^3 + 3x^2

6. Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x: 1 + B = 1 3 + 3B = 3 A = 0 3A = 0

7. Из первого уравнения получаем, что B = 0. Из второго уравнения получаем, что 3B = 0, следовательно, B = 0. Из третьего уравнения получаем, что A = 0.

Таким образом, разложение выражения (x^3 + 3x^2) / (x + 3) на простые дроби будет выглядеть так: (x^3 + 3x^2) / (x + 3) = 0 / (x + 3) + 0 / (x + 3)

Вычисление интеграла

Теперь, когда мы имеем разложение на простые дроби, можем вычислить интеграл: ∫(x^3 + 3x^2) / (x + 3) dx = ∫(0 / (x + 3) + 0 / (x + 3)) dx

Оба слагаемых равны 0, поэтому интеграл равен нулю: ∫(x^3 + 3x^2) / (x + 3) dx = 0 + C = C

Где C - произвольная постоянная.

Таким образом, интеграл от (x^3 + 3x^2) / (x + 3) dx равен C.