Question

Определить области существования функций:y=x^2/1+x; y=√3x-x^3.

Answer 1

Для первой функции необходимо, чтобы существовал знаменатель. Т.е. область определения - все значения Х, кроме х = -1.

Для второй функции:
$y = \sqrt{3x-x^3}$
Необходимо, чтобы существовал корень, т.е. подкоренное выражение должно быть неотрицательно:
$3x - x^3 \geq 0$
$x^3 - 3x \leq 0$
$x(x^2 - 3) = x (x - \sqrt{3})(x+ \sqrt{3}) \leq 0$
$x \in (-\infty; -\sqrt{3}]$ и $x \in [0; \sqrt{3}]$

Answer 2

Для определения областей существования функций, нам необходимо рассмотреть ограничения на значения переменных в данных функциях.

Функция y = x^2 / (1 + x)

Для определения области существования этой функции, мы должны исключить любые значения переменных, которые приведут к неправильным операциям, таким как деление на ноль или извлечение квадратного корня из отрицательного числа.

1. Ограничение деления на ноль: знаменатель (1 + x) не должен быть равен нулю. Таким образом, у нас есть ограничение x ≠ -1.

2. Ограничение корня из отрицательного числа: числитель (x^2) не может быть отрицательным. В данном случае, поскольку мы имеем квадрат переменной x в числителе, мы знаем, что x^2 всегда будет неотрицательным числом, поэтому у нас нет дополнительных ограничений.

Таким образом, область существования функции y = x^2 / (1 + x) - это все значения x, кроме x = -1.

Функция y = √(3x - x^3)

Аналогично, для определения области существования этой функции, мы должны исключить значения переменных, которые приведут к неправильным операциям, таким как извлечение квадратного корня из отрицательного числа.

1. Ограничение корня из отрицательного числа: аргумент под корнем (3x - x^3) не может быть отрицательным. Чтобы найти значения x, при которых аргумент становится отрицательным, мы можем решить неравенство 3x - x^3 ≥ 0.

Решим это неравенство: 3x - x^3 ≥ 0 x(3 - x^2) ≥ 0

Для этого уравнения мы можем рассмотреть три случая: - Когда x = 0, неравенство выполняется. - Когда x < 0, неравенство выполняется при 3 - x^2 ≥ 0, что эквивалентно x^2 ≤ 3. Таким образом, -√3 ≤ x ≤ 0. - Когда x > 0, неравенство выполняется при 3 - x^2 ≥ 0, что эквивалентно x^2 ≤ 3. Таким образом, 0 ≤ x ≤ √3.

Итак, область существования функции y = √(3x - x^3) - это все значения x, которые удовлетворяют неравенству -√3 ≤ x ≤ √3.