Question

Докажите, что значение выражения 2^14 - 2^12-2^10 делится нацело на 11

Answer 1

=2^10(2^4-2^2-1)=2^10(16-4-1) =2^10*11   то есть делится на 11 и результат деления 2^10

Answer 2

Я могу помочь вам с решением математических задач. Ваш вопрос сводится к доказательству, что $$2^{14} - 2^{12} - 2^{10}$$ кратно 11. Для этого можно воспользоваться свойством делимости на 11, которое гласит, что число делится на 11, если разность суммы его цифр, стоящих на четных местах, и суммы его цифр, стоящих на нечетных местах, делится на 11. Например, число 121 делится на 11, потому что 1 - (2 + 1) = -2 делится на 11.

Чтобы применить это свойство к нашему выражению, нужно перевести его в десятичную систему счисления. Для этого можно воспользоваться калькулятором или таблицей степеней двойки. Получим, что $$2^{14} - 2^{12} - 2^{10} = 16384 - 4096 - 1024 = 11264$$

Теперь посчитаем суммы цифр на четных и нечетных местах: 1 + 6 + 4 = 11 и 2 + 2 + 4 = 8. Разность этих сумм равна 11 - 8 = 3, которая не делится на 11. Значит, наше выражение не делится на 11 нацело.

Однако, есть и другой способ доказать это, не переводя выражение в десятичную систему. Для этого можно воспользоваться тем фактом, что $$2^{10} \equiv 1 \pmod{11}$$, то есть остаток от деления $$2^{10}$$ на 11 равен 1. Это можно проверить, разложив $$2^{10}$$ на множители: $$2^{10} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 1024 = 11 \cdot 93 + 1$$

Тогда, используя это свойство, можно записать: $$2^{14} - 2^{12} - 2^{10} = 2^{10} \cdot 2^4 - 2^{10} \cdot 2^2 - 2^{10} = 2^{10} (2^4 - 2^2 - 1) \equiv 1 \cdot (2^4 - 2^2 - 1) \pmod{11}$$

Упростим скобку: $$2^4 - 2^2 - 1 = 16 - 4 - 1 = 11$$

Тогда получим: $$2^{14} - 2^{12} - 2^{10} \equiv 1 \cdot 11 \pmod{11}$$

Это означает, что остаток от деления нашего выражения на 11 равен 11. Но по определению, число делится на 11, если остаток от его деления на 11 равен 0. Значит, наше выражение не делится на 11 нацело.

Оба способа дают один и тот же результат, но второй способ более эффективный, так как не требует перевода в десятичную систему. Вы можете найти больше информации о делимости на 11 и других числах на сайте [Uchi.ru](https://uchi.ru/otvety/questions/dokazhite-chto-znachenie-virazheniya-2-14-2-12-2-10-delitsya-natselo-na-11) или в решебнике по алгебре для 7 класса [Мерзляк, Полонский, Якир](https://reshak.ru/otvet/reshebniki.php?otvet=12-8&predmet=merzlyak_wb7). Надеюсь, что мой ответ был полезным для вас. Спасибо за обращение к Bing.