Question

Доказать, что для любого натурального числа n. (n+1)(n+2)*...*2n=2^n*1*3*5*...*(2n-1)

Answer 1

Методом математической индукции

База индукции при n=1 утверждение верно, так как
2*1=2^1*(2*1-1) (обе части равны2 )

--(при n=2
(2+1)*(2*2)=2^2*1*(2*2-1) (обе части равны 12)
)
Гипотеза индукции. Пусть при n=k утверждение верно, т.е.
справедливо равенство
$(k+1)(k+2)*...*(2k)=2^k*1*3*5*...(2k-1)$

Индукционный переход. Докажем что тогда утверждение верно при n=k+1, т.е., что
справедливо равенство
$(k+1+1)(k+1+2)*...*(2(k+1))=2^{k+1}*1*3*5*...*(2(k+1)-1)$
-----
$2^{k+1}*1*3*5*.....*(2(k+1)-1)=2*2^k*1*3*5*...*(2k-1)*(2k+1)=$
используем гипотезу(предположение) индукции, получим
$=2(2k+1)*(k+1)(k+2)*...*2k=(k+2)*(k+3)*...*(2k)*(2k+1)*(2*(k+1))=$
$(k+1+1)(k+1+2)*..*(2k)*(2k+1)*(2(k+1))$, что и хотели доказать.

По принципу математической индукции утверждение верно. Доказано

Answer 2

Чтобы доказать данное равенство, мы можем воспользоваться методом математической индукции. Для этого нам нужно показать, что равенство выполняется для начального значения n (база индукции) и затем доказать, что если оно выполняется для некоторого числа n, то оно также выполняется и для n + 1 (шаг индукции).

База индукции (n = 1):

Подставим n = 1 в обе части равенства:

(1 + 1)(1 + 2)(2) = 2^1 * 1 * 3

3 * 2 = 6

Слева и справа имеем одно и то же значение, поэтому база индукции выполняется.

Шаг индукции:

Предположим, что равенство выполняется для некоторого числа k, т.е.

(k + 1)(k + 2)...(2k) = 2^k * 1 * 3 * 5 * ... * (2k - 1)

Теперь докажем, что оно выполняется для k + 1:

(k + 1)(k + 2)...(2k)(2k + 1)(2k + 2) = 2^(k + 1) * 1 * 3 * 5 * ... * (2k - 1)(2k + 1)(2k + 2)

Мы можем записать левую и правую части равенства следующим образом:

(2^(k + 1) * 1 * 3 * 5 * ... * (2k - 1))(2k + 1)(2k + 2)

Теперь мы можем переписать (2k + 1)(2k + 2) в виде (2k + 2)(2k + 1) = (2k + 2)(2k + 1) * 2:

(2^(k + 1) * 1 * 3 * 5 * ... * (2k - 1))(2k + 2)(2k + 1) * 2

Мы знаем, что (2k + 2)(2k + 1) * 2 = (2k + 2)(2k + 1) * (2^1) = (2k + 2)(2k + 1) * (2^k * 1) = (2k + 2)(2k + 1) * (2^k * 1 * 3 * 5 * ... * (2k - 1)):

(2^(k + 1) * 1 * 3 * 5 * ... * (2k - 1))(2k + 2)(2k + 1) * 2 = 2^(k + 1) * 1 * 3 * 5 * ... * (2k - 1) * (2k + 2)(2k + 1)

Таким образом, мы получили, что левая и правая части равны, что доказывает шаг индукции.

Заключение:

Мы показали, что база индукции верна и что равенство выполняется для n + 1, если оно выполняется для n. Поэтому, равенство (n + 1)(n + 2)...(2n) = 2^n * 1 * 3 * 5 * ... * (2n - 1) доказано для всех натуральных чисел n.