Question

Упростите выражение плиз: sin(a+b)*cos(a+b)+sin(a-b)*cos(a-b)=?

Answer 1

1/2(sin(a+b-a-b)+sin(a+b+a+b)) +1/2(sin(a-b-a+b)+sin(a-b+a-b))=
=1/2(sin0+sin(2s+2b)) +1/2(sin0+sin(2a-2b)=1/2sin(2a+2b)+1/2(sin(2a-2b)=
=1/2*1/2(cos(2a+2b-2a+2b)-cos(2a+2b+2a-2b)=1/4(cos4b-cos4a)=
=-1/2sin(2b+2a)sin(2b-2a)

Answer 2

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами синуса и косинуса для суммы и разности углов:

sin(a+b) = sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b) cos(a+b) = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b) sin(a-b) = sin(a) * cos(b) - cos(a) * sin(b) cos(a-b) = cos(a) * cos(b) + sin(a) * sin(b)

Подставим эти формулы в исходное выражение:

(sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b)) * (cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b)) + (sin(a) * cos(b) - cos(a) * sin(b)) * (cos(a) * cos(b) + sin(a) * sin(b))

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

sin(a) * cos(b) * cos(a) * cos(b) - sin(a) * cos(b) * sin(a) * sin(b) + cos(a) * sin(b) * cos(a) * cos(b) - cos(a) * sin(b) * sin(a) * sin(b) + sin(a) * cos(b) * cos(a) * cos(b) - sin(a) * cos(b) * sin(a) * sin(b) - cos(a) * sin(b) * cos(a) * cos(b) - cos(a) * sin(b) * sin(a) * sin(b)

Упростим выражение, объединяя подобные слагаемые:

2sin(a)cos(a)cos(b)cos(b) - 2sin(a)sin(a)sin(b)cos(b) - 2cos(a)sin(a)sin(b)cos(b) - 2cos(a)cos(a)sin(b)sin(b)

Таким образом, упрощенное выражение равно:

2sin(2a)cos^2(b) - 2sin(2b)cos^2(a)