Question

Стороны квадрата разделены в отношении m к n, причем к каждой вершине прилежит один большой и один малый отрезок. Последовательные точки деления соединены прямыми. Найти площадь полученного четырехугольника, если сторона данного квадрата равна а.

Answer 1

При делении сторон квадрата в отношении m к n длины отрезков составят аm/(m+n) и аn/(m+n). При соединении точек деления сторон образуются 4 прямоугольных треугольника с указанными длинами сторон. Их площадь в сумме
Sтр=4*(1/2)*(аm/(m+n))*(аn/(m+n))=a^2*2nm/(m+n)^2.
Площадь четырехугольника, образованного соединением точек деления, равна разности площади квадрата и этих 4-х треугольников:
S=Sкв-Sтр= a^2 - a^2*2nm/(m+n)^2 = a^2(1-2nm/(m+n)^2).  

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте постепенно разберемся с данными условиями.

Условия говорят о том, что стороны квадрата разделены в отношении m к n, и к каждой вершине прилежит один большой и один малый отрезок. Это означает, что каждая сторона квадрата будет разделена на m + n отрезков, и каждый отрезок будет иметь длину, пропорциональную m и n.

Для удобства, давайте обозначим длину большого отрезка как B, а длину малого отрезка как S. Тогда, если сторона квадрата равна a, мы можем записать:

B + S = a

Также, у нас есть отношение между B и S, которое равно m к n. Мы можем записать это как:

B/S = m/n

Теперь у нас есть два уравнения, и мы можем решить их, чтобы найти значения B и S.

Сначала, давайте выразим B через S из второго уравнения:

B = (m/n) * S

Теперь, подставим это значение B в первое уравнение:

((m/n) * S) + S = a

Давайте обобщим это уравнение:

((m + n)/n) * S = a

Теперь выразим S через a:

S = (n/(m + n)) * a

Также, мы можем выразить B через a:

B = (m/(m + n)) * a

Теперь, давайте рассмотрим полученный четырехугольник. Он будет состоять из двух малых отрезков и двух больших отрезков, которые соединяют последовательные точки деления сторон квадрата. Мы можем найти длины этих отрезков, используя значения S и B:

Длина малого отрезка: S Длина большого отрезка: B Длина стороны квадрата: a

Теперь, чтобы найти площадь четырехугольника, мы можем использовать формулу площади прямоугольника:

Площадь = (большая сторона) * (малая сторона)

В нашем случае, большая сторона будет равна a + B, а малая сторона будет равна a + S. Подставим значения B и S в формулу:

Площадь = (a + B) * (a + S) Площадь = (a + ((m/(m + n)) * a)) * (a + ((n/(m + n)) * a))

Теперь, давайте упростим эту формулу:

Площадь = a^2 + a*((m/(m + n)) + (n/(m + n))) + ((m/(m + n)) * a) * ((n/(m + n)) * a) Площадь = a^2 + a*((m + n)/(m + n)) + ((m * n)/(m + n)) * a^2 Площадь = a^2 + a + ((m * n)/(m + n)) * a^2

Таким образом, площадь полученного четырехугольника равна a^2 + a + ((m * n)/(m + n)) * a^2.