Question

Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y=x^2 x=7 y=0 вокруг оси ОХ

Answer 1

A=0, b=7

$V= \pi \int\limits^7_0 {( x^{2} ) ^{2} } \, dx = \pi \int\limits^7_0 { x^{4} } \, dx= \pi *\frac{ x^{5} }{5} | _{0} ^{7} = \pi *( \frac{ 7^{5} }{5} - \frac{0 ^{5} }{5} )= \frac{7^{5} *\pi }{5}$

Answer 2

Вычисление объема тела, образованного вращением фигуры

Для вычисления объема тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y = x^2, x = 7 и y = 0 вокруг оси OX, мы можем использовать метод цилиндров.

Метод цилиндров заключается в разбиении фигуры на бесконечно малые цилиндрические слои, вычислении объема каждого слоя и интегрировании этих объемов по всей фигуре.

Шаги для вычисления объема

1. Найдите точки пересечения кривых y = x^2 и x = 7. Это происходит при x = 0 и x = 7. 2. Определите границы интегрирования. В данном случае, границы интегрирования будут от 0 до 7. 3. Запишите уравнение для радиуса цилиндра в зависимости от x. В данном случае, радиус цилиндра будет равен y = x^2. 4. Запишите уравнение для высоты цилиндра в зависимости от x. В данном случае, высота цилиндра будет равна разности между y = x^2 и y = 0, то есть h = x^2 - 0 = x^2. 5. Запишите формулу для объема цилиндра. Объем цилиндра равен площади основания (пи умножить на квадрат радиуса) умноженной на высоту цилиндра. 6. Интегрируйте объем цилиндра по границам интегрирования, чтобы получить общий объем тела.

Вычисление объема

Используя метод цилиндров, мы можем вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y = x^2, x = 7 и y = 0 вокруг оси OX.

Интегрируя объем цилиндра по границам интегрирования от 0 до 7, мы получаем следующий результат:

V = ∫[0, 7] π * (x^2)^2 dx

Вычисляя этот интеграл, мы получаем:

V = π * ∫[0, 7] x^4 dx

Интегрируя это выражение, мы получаем:

V = π * [x^5/5] [0, 7]

Подставляя границы интегрирования, мы получаем:

V = π * [(7^5/5) - (0^5/5)]

Вычисляя это выражение, мы получаем:

V = π * (16807/5)

Упрощая это выражение, мы получаем:

V = (33614/5)π

Таким образом, объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y = x^2, x = 7 и y = 0 вокруг оси OX, равен (33614/5)π.

Ответ

Объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y = x^2, x = 7 и y = 0 вокруг оси OX, равен (33614/5)π.