Question

В учебнике написано: "функция g(x)=log3 (5-x) +2 монотонно убывает на всей области определения". Разве она не возрастает (основание 3>0)? Почему?

Answer 1

Возможно в учебнике опечатка. Так как, если основание логарифма больше единицы, то функция возрастающая.

Answer 2

Функция g(x) = log3(5-x) + 2 является монотонно убывающей на всей области определения. Давайте разберемся, почему это так.

Основание логарифма

Вы правильно заметили, что основание логарифма в данной функции равно 3, и так как основание логарифма должно быть положительным, то основание 3 действительно больше 0. Однако, это не означает, что функция g(x) возрастает.

Монотонное убывание

Для того чтобы определить, возрастает или убывает функция g(x), мы должны проанализировать ее производную. Если производная положительна на всей области определения, то функция возрастает, а если производная отрицательна на всей области определения, то функция убывает.

Производная функции g(x)

Для нахождения производной функции g(x), мы можем использовать правило дифференцирования для логарифмической функции. Правило гласит: если f(x) = loga(x), то f'(x) = (1 / (x * ln(a))), где ln(a) - натуральный логарифм от основания a.

Применяя это правило к функции g(x) = log3(5-x) + 2, мы получаем: g'(x) = (1 / ((5-x) * ln(3)))

Знак производной

Теперь мы можем проанализировать знак производной g'(x), чтобы определить, возрастает или убывает функция g(x).

Заметим, что (5-x) всегда положительно, так как x принадлежит всей области определения функции. Также, ln(3) положительно, так как основание логарифма больше 1.

Таким образом, знак производной g'(x) будет определяться только числителем 1. Числитель всегда положителен, так как 1 является положительным числом.

Итак, производная g'(x) всегда положительна на всей области определения функции g(x). Это означает, что функция g(x) монотонно убывает на всей области определения.

Заключение

Таким образом, функция g(x) = log3(5-x) + 2 действительно является монотонно убывающей на всей области определения, несмотря на то, что основание логарифма больше 0.