Question

Тема: Расчет площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Задача: найти площадь фигуры ограниченной линиями у = x²-6х + 9 у = 3х-9

Answer 1

У = х² - 6х +9 - это парабола
у = 3х -9 - это прямая.
найдём границы интегрирования. Это точки , которые принадлежат обоим графикам.
х² -6х +9 = 3х - 9
х² - 9х +18 = 0
х = 3 и х = 6 ( по т. Виета
Итак, на участке [3;6] расположена фигура, площадь которой надо искать
Прямая у = 3х -9 выше параболы. Значит, площадь фигуры будем искать так: а) ищем интеграл от (3х - 9)dx, потом б) интеграл от (х²  - 6х +9)dx и в) выполним вычитание.
Начали.
а) интеграл от (3х - 9)dx = (3х²/2 - 9х) в пределах от 3 до 6.
считаем: 3·36/2 - 9·6 -(3·9/2-9·3) = 54-54 +27/2 = 13,5
б) интеграл от(х² -6х +9) dx = (х³/3 -6х²/2 +9х) в пределах от 3 до 6.
считаем:получится 9
в) Sфиг = 13,5 - 9 = 4,5

Answer 2

Расчет площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла

Для решения данной задачи, необходимо найти площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми: у = x² - 6x + 9 и у = 3x - 9. Мы можем использовать определенный интеграл для вычисления этой площади.

Первым шагом является нахождение точек пересечения этих двух кривых. Для этого приравняем их:

x² - 6x + 9 = 3x - 9

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

x² - 9x + 18 = 0

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Для этого можно воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b² - 4ac

где a = 1, b = -9, c = 18.

Подставим значения и найдем D:

D = (-9)² - 4 * 1 * 18 = 81 - 72 = 9

Так как дискриминант D больше нуля, у нас есть два действительных корня. Найдем их, используя формулу:

x = (-b ± √D) / (2a)

x₁ = (-(-9) + √9) / (2 * 1) = (9 + 3) / 2 = 6

x₂ = (-(-9) - √9) / (2 * 1) = (9 - 3) / 2 = 3

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (3, 0) и (6, 0).

Далее, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, мы можем построить график этих функций и найти площадь между ними. Однако, в данном случае у нас есть две кривые, которые пересекаются, и изменяют свои положения. Поэтому мы должны разделить фигуру на две части и вычислить площадь каждой отдельно.

Вычисление площади первой части фигуры

Первая часть фигуры ограничена кривыми y = x² - 6x + 9 и y = 3x - 9. Для нахождения площади этой части мы будем использовать определенный интеграл.

Площадь первой части фигуры можно вычислить с помощью следующего определенного интеграла:

S₁ = ∫[a₁, a₂] (f(x) - g(x)) dx

где a₁ и a₂ - это значения x, соответствующие точкам пересечения кривых, f(x) и g(x) - это функции, определяющие верхнюю и нижнюю границы площади.

В нашем случае, a₁ = 3, a₂ = 6, f(x) = x² - 6x + 9, g(x) = 3x - 9.

Теперь вычислим этот определенный интеграл:

S₁ = ∫[3, 6] ((x² - 6x + 9) - (3x - 9)) dx

Раскроем скобки:

S₁ = ∫[3, 6] (x² - 6x + 9 - 3x + 9) dx

S₁ = ∫[3, 6] (x² - 9x + 18) dx

Теперь проинтегрируем это выражение:

S₁ = [1/3 * x³ - 9/2 * x² + 18x]₃₆

Вычислим это выражение для границ a₁ = 3 и a₂ = 6:

S₁ = [1/3 * 6³ - 9/2 * 6² + 18 * 6] - [1/3 * 3³ - 9/2 * 3² + 18 * 3]

S₁ = [72 - 81 + 108] - [9 - 27 + 54]

S₁ = [99] - [36]

S₁ = 63

Вычисление площади второй части фигуры

Вторая часть фигуры ограничена кривыми y = 3x - 9 и y = 0. Чтобы вычислить площадь этой части, мы также можем использовать определенный интеграл.

Площадь второй части фигуры можно вычислить с помощью следующего определенного интеграла:

S₂ = ∫[a₂, a₃] f(x) dx

где a₂ и a₃ - это значения x, соответствующие точкам пересечения кривых, f(x) - это функция, определяющая верхнюю границу площади, а нижней границей является ось x.

В нашем случае, a₂ = 6, a₃ = 9, f(x) = 3x - 9.

Теперь вычислим этот определенный интеграл:

S₂ = ∫[6, 9] (3x - 9) dx

Проинтегрируем это выражение:

S₂ = [3/2 * x² - 9x]₆₉

Вычислим это выражение для границ a₂ = 6 и a₃ = 9:

S₂ = [3/2 * 9² - 9 * 9] - [3/2 * 6² - 9 * 6]

S₂ = [121.5 - 81] - [54 - 54]

S₂ = [40.5] - [0]

S₂ = 40.5

Вычисление общей площади фигуры

Общая площадь фигуры, ограниченной кривыми у = x² - 6x + 9 и у = 3x - 9, равна сумме площадей двух частей:

S = S₁ + S₂ = 63 + 40.5 = 103.5

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, составляет 103.5 квадратных единиц.