Question

Из кусочков проволоки собрали куб 5х5х5, так что каждый кусочек представляет собой ребро маленького кубика 1х1х1 (таким образом, весь куб состоит из 125 «ячеек» - кубиков 1х1х1). Какое максимальное число кусочков проволоки можно перепилить, чтобы вся конструкция не распалась на две части?

Answer 1

Если я правильно понял, то куб является неким сконструированным объектом, из палочек длиной в 1 единицу. Способных соединятся в одной точке с шести сторон. Надеюсь правильно понимаю. 
Задачу стоит разделить на подзадачи и разновидности ситуаций. На вершине куба соединены 3 палочки. В такой ситуации можно перерезать 2. Вообще при решении этой задачи лучше рассматривать именно такие узлы и их типы. Так вот, та палочка, которую мы не перерезали, ведёт к узлу к которому ведут 4 палочки, из которых перерезать можно уже не 3, а 2, так как в случае 3 два узла отделятся от остальной сети. То есть нужно всегда оставлять входную и выходную палочку, кроме начального и конечного случая. После таких манипуляций остаётся некая 3D змейка свёрнутая в кубический калачик. Наша задача лишь в том, чтобы сделать самые выгодные надрезы. Считаем что прочность палочек абсолютна и резак у нас адамантовый, режущий даже такие сверхпрочные проволоки, для чистоты эксперимента. Можно ли тут еще схитрить? Вполне. Но теряется чистота эксперимента. Поэтому пойду не по хитрющему пути. Поэтому только змейка, только хардкор. Значит легче посчитать число целых рёбер, пойдём "зигзагами", сохраняя палочки меж узлов. Сначала сохранили все ребра на Ребрище большого куба, всего 5, потом поднимаемся вверх (+1), повторяем, и повторяем. Всего 5*6+5*1. После чего переходим на второй слой (+1) и спускаемся. И того всего 6 слоёв, 6*(5*6+5*1)+5*1=215 целых рёбер. Всего рёбер 5*(5*6+5*6+5*5)+5*6+5*6=485. Обрезав любое ребро из 215, мы разделим куб на две части, хитрость была в том, что эти части могут и "переплетаться", из за чего не распадаться, тогда можно было бы обрезать куда больше. Как именно доказать, что 485-215=270 - максимум, пока не разумею, но задача интересная, подумаю над ней еще. Может пойму Как доказать Строго.

Answer 2

Для того чтобы вся конструкция не распалась на две части, необходимо перепилить все 12 ребер куба. Таким образом, максимальное число кусочков проволоки, которое можно перепилить, чтобы вся конструкция не распалась на две части, составляет 12.