Question

В треугольнике ABC на сторонах AB, AC и BC взяты соответственно точки M, N и K так, что четырехугольник AMKN является параллелограммом, площадь которого составляет 3/8 площади треугольника ABC. Найдите длину стороны AC, если известно, что MK = 6.

Answer 1

Решение на рисунке.
--------------------------------------------

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему о площади параллелограмма, которая гласит, что площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны на высоту, опущенную на эту сторону.

Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:

Площадь AMKN = 3/8 * Площадь ABC

где AM = KN = 6 (так как AMKN - параллелограмм)

Площадь AMKN = AM * AC * sin(угол A)

Площадь ABC = 2 * Площадь AMKN (так как AMKN - параллелограмм)

Теперь мы можем записать уравнение:

6 * AC * sin(угол A) = 2 * 3/8 * Площадь ABC

6 * AC * sin(угол A) = 3/4 * Площадь ABC

Так как мы знаем, что площадь треугольника ABC равна 2 * AC * h (где h - высота, опущенная на сторону AC), мы можем выразить sin(угол A) через AC и h.

Таким образом, у нас получается уравнение:

6 * AC * (h / AC) = 3/4 * 2 * AC * h

6h = 3h

h = 1/2 * h

Таким образом, высота, опущенная на сторону AC, равна половине высоты, опущенной на сторону BC.

Из этого следует, что треугольник ABC - равнобедренный.

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения площади треугольника через высоту:

Площадь ABC = 1/2 * AC * h

Подставив значение площади ABC и высоты h, получаем:

3/8 * Площадь ABC = 1/2 * AC * h

3/8 * 2 * AC * h = 1/2 * AC * h

3/4 * AC = 1/2 * AC

AC = 2/3 * AC

Таким образом, мы нашли, что длина стороны AC равна 2/3 от высоты, опущенной на эту сторону.