Question

Решить неравенства: а) x^2-1/x+5<1 б) (2x-1)/(x-3)

Answer 1

А) 
(x^2-1)/(x+5)<1 
(x^2-1-x-5)/(x+5)<0
(x^2-x-6)/(x+5)<0      ;  D=1-4*1*(-6)=25 ; x1 = 3 ; x2 = -2
(x-3)(x+2)/(x+5)<0
x=/ 3 ; -2 ; -5
Далее методом интервалов.

Ответ: (-∞;-5)v(-2;3)

б) А где здесь неравенство ?

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое неравенство по очереди.

а) \(x^2 - \frac{1}{x} + 5 < 1\)

Для начала давайте преобразуем это неравенство так, чтобы все слагаемые были на одной стороне:

\(x^2 - \frac{1}{x} + 5 - 1 < 0\)

Упростим:

\(x^2 - \frac{1}{x} + 4 < 0\)

Теперь нам нужно найти корни этого неравенства. Для этого давайте решим уравнение, которое получится, если мы заменим знак "<" на "=":

\(x^2 - \frac{1}{x} + 4 = 0\)

Сначала домножим обе стороны на \(x\), чтобы избавиться от дроби:

\(x^3 - 1 + 4x = 0\)

Теперь приведем подобные члены:

\(x^3 + 4x - 1 = 0\)

Это уравнение степени 3, и его решение может быть сложным. Мы можем попробовать численные методы, чтобы найти его приближенное решение, но для точного решения может потребоваться использовать компьютер. Найденные корни этого уравнения можно будет использовать для построения интервалов, в которых выполняется неравенство \(x^2 - \frac{1}{x} + 4 < 0\).

б) \(\frac{2x - 1}{x - 3}\)

Для начала давайте найдем область допустимых значений \(x\), которые делают эту функцию определенной. Функция будет неопределенной, когда знаменатель становится равным нулю:

\(x - 3 = 0\)

\(x = 3\)

Теперь, чтобы найти интервалы, в которых функция положительна и отрицательна, давайте выберем тестовую точку в каждом из интервалов:

1. Если \(x < 3\), то выберем \(x = 2\). Тогда:

\(\frac{2x - 1}{x - 3} = \frac{2 \cdot 2 - 1}{2 - 3} = \frac{3}{-1} = -3\)

2. Если \(x > 3\), то выберем \(x = 4\). Тогда:

\(\frac{2x - 1}{x - 3} = \frac{2 \cdot 4 - 1}{4 - 3} = \frac{7}{1} = 7\)

Итак, получаем, что функция положительна на интервале \((3, +\infty)\) и отрицательна на интервале \((-\infty, 3)\).

Теперь мы можем объединить результаты для обоих неравенств:

а) \(x^2 - \frac{1}{x} + 4 < 0\) имеет решение, которое зависит от корней уравнения \(x^3 + 4x - 1 = 0\). Эти корни можно найти численными методами или с помощью компьютера.

б) \(\frac{2x - 1}{x - 3}\) положительна на интервале \((3, +\infty)\) и отрицательна на интервале \((-\infty, 3)\).

Итак, чтобы решить исходное неравенство \(x^2 - \frac{1}{x} + 5 < 1\), вам нужно будет объединить результаты для обоих неравенств. Это означает, что решение будет зависеть от корней уравнения \(x^3 + 4x - 1 = 0\) и интервалов \((-\infty, 3)\) и \((3, +\infty)\) для функции \(\frac{2x - 1}{x - 3}\).