Question

Окружность касается всех сторон треугольника АВС. известно что точки касания являются серединами сторон треугольника. Вычислите длину радиуса окружности, если известно, что периметр треугольника АВС равен 16

Answer 1

РЕШЕНИЕИз формулы периметра - Р = 3*а, находим 
а = Р/3 = 16/3 = 5 1/3 - сторона треугольника.Радиус вписанной окружности для правильного треугольникаr = a/(2√3)Подставили значение стороны треугольника и преобразуемr = 16/(3*2√3) =16/(6√3) = 8/9*√3 или ≈ 1,54 - радиус - ОТВЕТ

Answer 2

Если окружность касается всех сторон треугольника, то она является описанной окружностью треугольника.

Пусть точки касания окружности со сторонами треугольника A, B и C являются серединами сторон. Обозначим эти точки как M, N и P соответственно.

Так как точки M, N и P являются серединами сторон, то отрезки AM, BN и CP будут равны половине соответствующих сторон треугольника. Обозначим стороны треугольника как a, b и c, соответственно.

Таким образом, AM = BM = a/2, BN = CN = b/2 и CP = AP = c/2.

Известно, что периметр треугольника АВС равен 16, следовательно a + b + c = 16.

Также известно, что окружность касается всех сторон треугольника, а значит, что точки M, N и P лежат на перпендикулярных биссектрисах треугольника.

Построим биссектрисы треугольника АВС и обозначим точку их пересечения как O – центр описанной окружности.

Так как точки M, N и P являются серединами сторон треугольника, то O – середина отрезка BN и O – середина отрезка CP.

Следовательно, точки O, N и P лежат на одной прямой, и ON = NP/2 = c/4.

Также, точки O, M и P лежат на одной прямой, и OM = MP/2 = b/4.

Заметим, что треугольник OMN является равнобедренным треугольником, так как OM = ON.

Опустим из точки O перпендикуляры на стороны треугольника и обозначим расстояния от O до сторон треугольника как h1, h2 и h3 соответственно.

Так как треугольник OMN равнобедренный, то h1 = h2.

Также заметим, что треугольник AOM подобен треугольнику ABC, так как углы MOA и BCA являются смежными.

Следовательно, h1 = h2 = OM/AM = b/4 / (a/2) = b/a * 2/4 = b/a * 1/2 = b/2a.

Аналогично можно показать, что h3 = c/2a.

Заметим, что сумма расстояний от центра окружности до сторон треугольника равна радиусу окружности.

Таким образом, радиус окружности R = h1 + h2 + h3 = b/2a + b/2a + c/2a = (b + c) / 2a.

Так как a + b + c = 16, то b + c = 16 - a.

Подставим это значение в формулу для радиуса: R = (16 - a) / 2a.

Таким образом, длина радиуса окружности равна (16 - a) / 2a.