Question

В ряд лежат n монет. За ход разрешается брать одну или две рядом лежащие монеты. Проигрывает тот, кому нечего брать. При каких n у первого игрока есть выигрышная стратегия?

Answer 1

При любом n  первый игрок выигрывает. Если n — нечетное, то пусть первый заберет центральную монету. Если же n — четное, то пусть первый заберет две центральных монеты. Тогда (в обоих случаях) у нас останется две одинаковые кучи монет. Теперь заметим, что по правилам игры мы не можем брать монеты из разных куч, поэтому можно применить симметричную стратегию (её может применить первый игрок). Эта стратегия такова: мы будем брать то же количество монет, которое взял второй игрок, только из другой кучи. Так как после нашего хода всегда получаются две кучи с одинаковым числом монет, а после хода второго количество монет в кучах разное, то при такой стратегии первый игрок победит

Answer 2

Эта задача относится к классу игр на линейных досках с ограниченными ходами. Для определения выигрышной стратегии рассмотрим несколько начальных условий.

Пусть n = 1. В этом случае первый игрок обязан взять единственную монету, так как других монет нет, и он выигрывает.

Пусть n = 2. В этом случае первый игрок также выигрывает, поскольку он может взять обе монеты.

Пусть n = 3. Теперь рассмотрим несколько возможных ходов: - Первый игрок берет одну монету (остаются две), оставляя второму игроку две монеты, что позволяет второму игроку выиграть. - Первый игрок берет две монеты (остаётся одна), и он выигрывает.

Наблюдаем закономерность: если количество монет кратно 3, первый игрок всегда может выбрать такой ход, чтобы оставить второму игроку количество монет, которое не кратно 3. В этом случае первый игрок всегда выигрывает.

Таким образом, выигрышная стратегия для первого игрока существует тогда и только тогда, когда количество монет в начале игры не кратно 3.