Question

Корень натуральной степени из числа( определение и свойство )

Answer 1

Это модуль самого
числа

Answer 2

Корень натуральной степени из числа – это число, которое возводится в данную степень, чтобы получить исходное число. Например, корень квадратный из числа \(a\) (обозначается как \(\sqrt{a}\)) – это такое число \(b\), что \(b \times b = a\).

Свойства корня натуральной степени:

1. Определение: Пусть \(n\) – натуральное число, и \(a\) – неотрицательное число. Тогда корень \(n\)-й степени из \(a\) (обозначается как \(\sqrt[n]{a}\)) – это такое неотрицательное число \(b\), что \(b^n = a\).

2. Неотрицательность: Корень натуральной степени из неотрицательного числа также является неотрицательным числом. Это следует из определения корня, поскольку умножение неотрицательных чисел дает неотрицательный результат.

3. Существование: Для любого неотрицательного числа и любого натурального числа \(n\) существует корень \(n\)-й степени. Это означает, что каждое неотрицательное число имеет корень любой нечетной степени.

4. Индексы корня: Обычно, когда говорят о корне, не указывая индекс, подразумевается корень второй степени, то есть квадратный корень. Однако, если индекс четный, корень может существовать только для неотрицательных чисел.

5. Операции с корнями: Существуют правила для операций с корнями, например, \(\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\) и \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\).

6. Корень из единицы: Корень из единицы любой нечетной степени всегда равен единице. Это следует из того, что \(1^n = 1\) для любого натурального числа \(n\).

Эти свойства делают корни натуральной степени важными в математике и их широко используют в различных областях, таких как алгебра, геометрия, и анализ.