Question

Площадь квадрата 80 см кв Квадрат разделили диагоналями и провели отрезки, соединяющие середин сторон какова площадь наименьшего треугольника?

Answer 1

Искала какой-нибудь подвох.....
если просто то,  квадрат разделится на 8 маленьких одинаковых треугольника, значит 80:8=10см²

Answer 2

Давайте рассмотрим, как диагонали и отрезки, соединяющие середины сторон квадрата, разбивают его на треугольники.

У нас есть квадрат со стороной \(a\) и площадью \(80 \, \text{см}^2\).

Площадь квадрата выражается формулой: \[S_{\text{квадрата}} = a^2\]

Мы также знаем, что площадь квадрата равна \(80 \, \text{см}^2\), следовательно: \[a^2 = 80\]

Теперь мы разделяем квадрат диагоналями. Диагональ квадрата делит его на два равных прямоугольных треугольника. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника: \[c^2 = a^2 + b^2\]

Где \(c\) - гипотенуза, а \(a\) и \(b\) - катеты.

Диагональ квадрата равна \(a\sqrt{2}\), так как она является гипотенузой, а стороны квадрата - катетами: \[c = a\sqrt{2}\]

Теперь мы проводим отрезки, соединяющие середины сторон квадрата. Эти отрезки делят квадрат на четыре равных части.

Теперь рассмотрим треугольник, образованный отрезками, соединяющими середины сторон. Этот треугольник также является прямоугольным, и его гипотенуза равна половине диагонали квадрата, то есть \(a\sqrt{2}/2\).

Теперь мы можем применить теорему Пифагора: \[c^2 = a^2 + b^2\]

Подставим \(c = a\sqrt{2}/2\): \[\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = a^2 + b^2\]

Решим это уравнение относительно \(b\): \[\frac{a^2 \cdot 2}{4} = a^2 + b^2\]

Упростим: \[\frac{a^2}{2} = b^2\]

Теперь выразим \(b\): \[b = \frac{a}{\sqrt{2}}\]

Таким образом, мы нашли длину стороны треугольника, образованного отрезками, соединяющими середины сторон квадрата.

Теперь рассмотрим площадь этого треугольника: \[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]

Подставим \(b = \frac{a}{\sqrt{2}}\): \[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{\sqrt{2}}\]

Упростим: \[S_{\text{треугольника}} = \frac{a^2}{2\sqrt{2}}\]

Теперь у нас есть выражение для площади треугольника в зависимости от длины стороны квадрата. Мы знаем, что \(a^2 = 80\), поэтому подставим это значение: \[S_{\text{треугольника}} = \frac{80}{2\sqrt{2}}\]

Упростим: \[S_{\text{треугольника}} = \frac{40}{\sqrt{2}}\]

Чтобы упростить это выражение, умножим и поделим на \(\sqrt{2}\): \[S_{\text{треугольника}} = \frac{40}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{40\sqrt{2}}{2} = 20\sqrt{2}\]

Таким образом, площадь наименьшего треугольника, образованного отрезками, соединяющими середины сторон квадрата, равна \(20\sqrt{2} \, \text{см}^2\).