Question

Помогите решить Интеграл (x^2-x+cos x)dx

Answer 1

Ну, во-первых, найти первообразую, а во-вторых
Используя свойство линейности интеграла разобьём его на насколько частей что бы облегчить задачу.
$\int\limits{x^{2}-x+cos(x)} \, dx =\int\limits {x^{2}} \, dx - \int\limits {x} \, dx + \int\limits {cos(x)} \, dx =$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+sin(x)+C$

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем использовать метод интегрирования по частям или метод замены переменной.

Метод интегрирования по частям: Пусть u = x^2 - x и dv = cos(x)dx. Тогда du = (2x - 1)dx и v = sin(x). Используя формулу интегрирования по частям ∫u dv = uv - ∫v du, мы получаем: ∫(x^2 - x)cos(x)dx = (x^2 - x)sin(x) - ∫(2x - 1)sin(x)dx.

Теперь, чтобы решить интеграл ∫(2x - 1)sin(x)dx, мы можем применить метод интегрирования по частям снова. Пусть u = 2x - 1 и dv = sin(x)dx. Тогда du = 2dx и v = -cos(x). Применяя формулу интегрирования по частям, мы получаем: ∫(2x - 1)sin(x)dx = -(2x - 1)cos(x) - ∫(-2)cos(x)dx = -(2x - 1)cos(x) + 2∫cos(x)dx = -(2x - 1)cos(x) + 2sin(x) + C.

Таким образом, исходный интеграл можно представить в виде: ∫(x^2 - x + cos(x))dx = (x^2 - x)sin(x) - [(2x - 1)cos(x) + 2sin(x)] + C, где C - произвольная постоянная.