Question

Докажите тождество sin^2t+tg^2t*sin^2t=tg^2t

Answer 1

Sin²t+tg²t*sin²t=tg²t

sin²t+tg²t*sin²2t=sin²t*(1+tg²t)=sin²t*(1/cos²t)=sin²t/cos²t=tg²t

tg²t=tg²t

Answer 2

Для доказательства данного тождества мы воспользуемся тригонометрическими тождествами и свойствами тангенса и синуса.

Имеем данное тождество: \( \sin^2(t) + \tan^2(t) \cdot \sin^2(t) = \tan^2(t) \).

Давайте начнем с приведения тангенса к синусу и косинусу:

\(\tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)}\).

Подставим это выражение для тангенса в тождество:

\(\sin^2(t) + \left(\frac{\sin(t)}{\cos(t)}\right)^2 \cdot \sin^2(t) = \left(\frac{\sin(t)}{\cos(t)}\right)^2\).

Теперь приведем общий знаменатель во втором слагаемом:

\(\sin^2(t) + \frac{\sin^2(t)}{\cos^2(t)} \cdot \sin^2(t) = \frac{\sin^2(t)}{\cos^2(t)}\).

Упростим уравнение, умножив обе части на \(\cos^2(t)\):

\(\sin^2(t) \cdot \cos^2(t) + \sin^4(t) = \sin^2(t)\).

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством \(\sin^2(t) + \cos^2(t) = 1\):

\(\sin^2(t) \cdot (1 - \sin^2(t)) + \sin^4(t) = \sin^2(t)\).

Раскроем скобки:

\(\sin^2(t) - \sin^4(t) + \sin^4(t) = \sin^2(t)\).

Таким образом, у нас получается:

\(\sin^2(t) = \sin^2(t)\).

Это тождество верно, что подтверждает исходное утверждение.