Question

Исследовать y=1/4x^4-3/2x^2 функцию на экстремум

Answer 1

Y = 1/4x⁴-3/2x²
yʼ = x³-3x
yʼ = 0
Экстремумы:
x₁ = 0
x₂,₃ = ±√3

Answer 2

Для исследования функции y = (1/4)x^4 - (3/2)x^2 на экстремумы, нужно найти ее производные и приравнять их к нулю.

1. Найдем первую производную функции y по x: y' = 4*(1/4)*x^3 - 2*(3/2)*x = x^3 - 3x

2. Приравняем y' к нулю и решим уравнение: x^3 - 3x = 0

Можно заметить, что уравнение имеет три корня: x = 0, x = -√3 и x = √3.

3. Теперь найдем вторую производную функции y по x: y'' = 3x^2 - 3

4. Подставим найденные значения x в y'' и проанализируем знаки: - Для x = 0: y''(0) = 3*(0)^2 - 3 = -3. Знак отрицательный. - Для x = -√3: y''(-√3) = 3*(-√3)^2 - 3 = 3*3 - 3 = 6. Знак положительный. - Для x = √3: y''(√3) = 3*(√3)^2 - 3 = 3*3 - 3 = 6. Знак положительный.

Из анализа знаков второй производной следует, что: - Для x = 0 достигается локальный максимум. - Для x = -√3 и x = √3 достигаются локальные минимумы.

Таким образом, функция y = (1/4)x^4 - (3