Question

Помогите пожалуйста решить xy'-5y=x^3

Answer 1

Перепишем уравнение в следующем виде: $y'- \frac{5y}{x} =x^2$
Данное дифференциальное уравнение является линейным, неоднородным.
  1) Найдем для начала общее решение соответствующего однородного уравнения:
         $y'-5 \frac{y}{x} =0$
Это уравнение ни что иное как уравнение с разделяющимися переменными
$\frac{dy}{dx}= \frac{5y}{x}$    ⇒    $\frac{dy}{y} = \frac{5dx}{x}$
Интегрируя обе части уравнения, получим общее решение
     $y=Cx^5$

2)Примем константу за функцию, т.е. $C=C(x)$, тогда имеем
   $y=x^5+C(x)$ и дифференцируя по х, имеем $y'=C(x)5x^4+C'(x)x^5$
Подставим в исходное уравнение
$5x^4C(x)+C'(x)x^5-5 \frac{C(x)x^5}{x} =x^2\\ \\ 5x^4C(x)+C'(x)x^5-5C(x)x^4=x^2\\ \\ C'(x)x^5=x^2\\ \\ C'(x)= \frac{1}{x^3} \\ \\ C(x)=- \frac{1}{2x^2}+C_1$

Общее решение: $y=Cx^5=(- \frac{1}{2x^2}+C_1 )x^5=C_1x^5-0.5x^3$

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение вида xy' - 5y = x^3. Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать метод вариации постоянной.

Шаг 1: Найдите общее решение однородного уравнения

Начнем с однородного уравнения, которое получается путем обнуления правой части уравнения. Так как x^3 не равно нулю для любого x, мы имеем:

xy' - 5y = 0

Это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Чтобы найти его общее решение, предположим, что y имеет вид y = e^(kx), где k - неизвестная константа.

Подставляя y = e^(kx) в уравнение, получим:

xe^(kx)k - 5e^(kx) = 0

Вынесем общий множитель e^(kx) за скобки:

e^(kx)(kx - 5) = 0

Так как e^(kx) не равно нулю, у нас остается квадратное уравнение:

kx - 5 = 0

Решив это уравнение относительно k, получим:

k = 5/x

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_h = C * e^(5/x)

где C - произвольная постоянная.

Шаг 2: Найдите частное решение неоднородного уравнения

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Мы предполагаем, что решение имеет вид y_p = A * x^3, где A - неизвестная константа.

Подставляя y_p = A * x^3 в исходное уравнение, получаем:

x(A * 3x^2) - 5(A * x^3) = x^3

3Ax^3 - 5Ax^3 = x^3

-2Ax^3 = x^3

A = -1/2

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

y_p = (-1/2) * x^3

Шаг 3: Найдите общее решение неоднородного уравнения

Общее решение неоднородного уравнения получается путем сложения общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

y = y_h + y_p

y = C * e^(5/x) - (1/2) * x^3

где C - произвольная постоянная.

Таким образом, это является общим решением дифференциального уравнения xy' - 5y = x^3.