Question

Сколько пар целочисленных корней имеет уравнение 6^x=y^2+y-2?

Answer 1

РЕШЕНИЕ

преобразуем

6^x=y^2+y-2

6^x+2=y^2+y

разберемся с  Х

Х не может бать отрицательным -иначе СЛЕВА будет выражение с дробью

а СПРАВА всегда целое число  т.к. по условию Y  целые числа

значит Х может быть 0 или положительные числа

при Х=0  слева результат  6^0+2=1+2=3

при Х > 0 слева всегда число с последней цифрой 6+2=8, 

т.к. 6 в положительной степени  в конце числа дает всегда цифру 6

ВОЗМОЖНЫЕ ОКОНЧАНИЯ слева   -цифры  3  или 8

теперь правая часть

Y <0

рассмотрим возможные варианты последней цифры

y=-1  последняя цифра (-1)^2-1=0

y=-2  последняя цифра (-2)^2-2=2

y=-3  последняя цифра (-3)^2-3=6

y=-4  последняя цифра (-4)^2-4=2

y=-5  последняя цифра (-5)^2-5=0

y=-6  последняя цифра (-6)^2-6=0

y=-7  последняя цифра (-7)^2-7=2

y=-8  последняя цифра (-8)^2-8=6

y=-9  последняя цифра (-9)^2-9=2

дальше повторение

Y=0  последняя цифра (0)^2-0=0

Y >0

рассмотрим возможные варианты последней цифры

y=1  последняя цифра (1)^2+1=2

y=2  последняя цифра (2)^2+2=6

y=3  последняя цифра (3)^2+3=2

y=4  последняя цифра (4)^2+4=0

y=5  последняя цифра (5)^2+5=0

y=6  последняя цифра (6)^2+6=2

y=7  последняя цифра (7)^2+7=6

y=8  последняя цифра (8)^2+8=2

y=9  последняя цифра (9)^2+9=0

дальше повторение

ВОЗМОЖНЫЕ ОКОНЧАНИЯ  справа   -цифры  0  или 2  или 6

нет совпадений ПРАВОЙ и ЛЕВОЙ части по последней цифре

ОТВЕТ  уравнение не имеет ни одной пары целочисленных корней

Answer 2

Для решения этого уравнения, давайте сначала приведем его к более простому виду. Уравнение имеет вид:

6^x = y^2 + y - 2

Мы можем заметить, что левая сторона уравнения является степенью числа 6, а правая сторона является квадратным трехчленом. Если мы сможем представить правую сторону в виде степени числа 6, то это поможет нам найти целочисленные корни уравнения.

Давайте рассмотрим правую сторону уравнения:

y^2 + y - 2

Мы хотим представить этот квадратный трехчлен в виде степени числа 6. Для этого, нам нужно найти такое значение y, при котором правая сторона будет иметь вид 6^x.

Заметим, что если мы добавим 3 к правой стороне, то получим:

y^2 + y - 2 + 3 = y^2 + y + 1

Мы можем записать это выражение в виде (y + 1/2)^2 - 1/4. Заметим, что это похоже на формулу для разности квадратов (a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)).

Теперь, если мы добавим 1/4 к обеим сторонам уравнения, получим:

(y + 1/2)^2 = 6^x + 1/4

Таким образом, мы можем представить правую сторону уравнения в виде квадрата с левой стороны и какого-то числа справа.

Теперь, для того чтобы правая сторона уравнения имела вид 6^x, нам нужно, чтобы число справа было равно 1. То есть:

6^x + 1/4 = 1

Вычтем 1/4 из обеих сторон:

6^x = 3/4

Теперь мы можем выразить x в виде логарифма:

x = log_6(3/4)

Таким образом, уравнение имеет один целочисленный корень, который можно выразить в виде x = log_6(3/4).

Если вы хотите конкретное численное значение для этого корня, пожалуйста, дай