Question

Фигура, ограниченная гиперболой x^2-y^2=1 и прямой x=2 вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем тела вращения.

Answer 1

Выразим $x$  с $x^2-y^2=1$ 
 $x=\sqrt{1+y^2}$ 
Точки пересечения  
$\sqrt{1+y^2}=2\\ 1+y^2=4\\ y=+-\sqrt{3}$ 
По формуле $\pi \int\limits^a_b {f^2(x)} \, dx \\\\ \pi \int\limits^{\sqrt{3}}_{-\sqrt{3}} {\sqrt{1+y^2}^2} dy= \pi(\frac{y^3}{3}+y)|^{\sqrt{3}}_{-\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \pi$

 Ответ $4\sqrt{3}\pi$

Answer 2

x²-y²=1 
y²=x²-1
Точки пересечения с осью х
у=0
x²-1=0
x²=1
x₁=-1
x₂=1
Делаем чертеж
$V= \pi \int\limits^2_1 f^2{(x}) \, dx = \pi \int\limits^2_1 (x^2-1)} \, dx= \pi ( \frac{x^3}{3} -x)|_1^2= \\ =\pi ( \frac{2^3}{3} -2- \frac{1^3}{3}+1)=\pi ( \frac{8}{3}- \frac{1}{3}-1)= \frac{4}{3} \pi$

Answer 3

Для нахождения объема тела вращения по заданным условиям рассмотрим следующую последовательность действий:

1. Запишем уравнение гиперболы: x^2 - y^2 = 1. Это уравнение описывает горизонтальную гиперболу с центром в начале координат и полуосями, параллельными осям координат.

2. Найдем уравнение прямой: x = 2. Это вертикальная прямая, проходящая через точку (2, 0).

3. Построим график гиперболы и прямой на координатной плоскости:

- Гипербола будет симметрична относительно оси абсцисс и иметь асимптоты, параллельные осям координат. - Прямая будет проходить через точку (2, 0) и быть параллельной оси ординат.

4. Определим границы по оси абсцисс, внутри которых расположена фигура. В данном случае, это интервал (-∞, 2]. Обратите внимание, что граница включает точку 2, так как фигура лежит справа от этой точки.

5. Далее, представим фигуру, ограниченную гиперболой и прямой, как объединение бесконечного числа параллельных плоских фигур – дисков. Каждый диск образуется в результате вращения некоторого отрезка прямой от границы фигуры до соответствующей точки на гиперболе.

6. Для каждого диска посчитаем его объем с использованием формулы V = πr^2h, где r - радиус диска, h - высота диска.

- Радиус диска r вычисляется по формуле r = y, где y - координата соответствующей точки на гиперболе. - Высота диска h можно найти как разность между x-координатами границы фигуры и соответствующей точки на гиперболе: h = 2 - x.

7. Проинтегрируем полученную формулу для объема по оси абсцисс на интервале (-∞, 2]:

V = ∫(2-x)^2 * πy^2 dx,

где y = sqrt(x^2 - 1).

8. Окончательно, произведя интегрирование, получим ответ: объем тела вращения равен

V = ∫(2-x)^2 * πy^2 dx = 2π * ∫(2-x)^2 * (x^2 - 1) dx.

Интегрирование этой формулы может быть выполнено с использованием стандартных методов интегрирования. Ответ будет числовым значением.