Question

Можно ли нарисовать на плоскости 19 прямых , так чтобы каждая из них пересекалась ровно с половиной из остальных прямых?

Answer 1

Это невозможно, покажем почему.
По условию возьмем одну из 19ти прямых, мы знаем что она пересекает 9 прямых (половину от оставшихся 18ти), соответственно, еще 9 прямых являются ей параллельными, изобразив это на рисунке, мы получим 10 параллельных прямых, попытка добавить любую другую не параллельную  им прямую приводит нас к тому, что добавленная прямая пересечет все 10 прямых, что противоречит условию пересечения только 9ти прямых.

Answer 2

Эта задача связана с комбинаторикой и геометрией, и для решения ее важно понимать, какие условия мы хотим выполнить.

Давайте обозначим количество прямых как \( n \). Мы хотим, чтобы каждая прямая пересекалась ровно с половиной остальных прямых.

Если у нас есть \( n \) прямых, то каждая прямая может пересекаться с \( \frac{n}{2} \) другими прямыми. Теперь представим, что у нас есть одна прямая и она пересекается с \( \frac{n}{2} \) другими. Затем у нас остается \( n - 1 \) прямая, и каждая из них также пересекается с \( \frac{n}{2} \) оставшимися прямыми.

Таким образом, мы можем записать уравнение:

\[ \frac{n}{2} = \frac{n-1}{2} \]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей:

\[ n = n - 1 \]

Теперь выразим \( n \):

\[ 1 = -1 \]

Это уравнение не имеет решения в целых числах, что означает, что невозможно нарисовать 19 прямых на плоскости так, чтобы каждая из них пересекалась ровно с половиной остальных прямых. Это связано с тем, что количество прямых всегда четное, когда каждая пересекается ровно с половиной остальных.