Question

Решите уравнение: sin^2 3x-2cos 3x+2=0

Answer 1

Sin^2 3x-2cos 3x+2=0

1 - cos^2 3x - 2cos3x + 2 = 0

cos^2 3x + 2 cos3x -3 = 0

cos3x = t

t^2 +2t - 3 = 0

t1 = 1. t2 = -3

cos3x = 1
3x = 2Пи n, n принадлежит множеству целых чисел
х = 2/3 Пи n, n принадлежит множеству целых чисел

cos3x = -3 не входит в промежуток [-1;1]

Ответ : х = 2/3 Пи n, n принадлежит множеству целых чисел

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнение:

\[ \sin^2(3x) - 2\cos(3x) + 2 = 0 \]

Для удобства давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами:

\[ \sin^2(A) + \cos^2(A) = 1 \]

Также, мы можем выразить \(\sin^2(A)\) через \(\cos^2(A)\) и наоборот:

\[ \sin^2(A) = 1 - \cos^2(A) \] \[ \cos^2(A) = 1 - \sin^2(A) \]

Теперь подставим это в уравнение:

\[ (1 - \cos^2(3x)) - 2\cos(3x) + 2 = 0 \]

Раскроем скобки:

\[ 1 - \cos^2(3x) - 2\cos(3x) + 2 = 0 \]

Переносим все элементы на одну сторону уравнения:

\[ -\cos^2(3x) - 2\cos(3x) + 3 = 0 \]

Теперь давайте введем подстановку. Пусть \( y = \cos(3x) \), тогда у нас будет квадратное уравнение относительно \( y \):

\[ -y^2 - 2y + 3 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться квадратным трехчленом или формулой дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где у нас есть уравнение \( ay^2 + by + c = 0 \). В нашем случае:

\[ a = -1, \ b = -2, \ c = 3 \]

\[ D = (-2)^2 - 4(-1)(3) = 4 + 12 = 16 \]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:

\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ y_{1,2} = \frac{2 \pm 4}{-2} \]

Таким образом, получаем два значения \( y \):

\[ y_1 = -1, \ y_2 = 3 \]

Теперь, мы знаем, что \( y = \cos(3x) \), поэтому у нас есть два уравнения:

1. \( \cos(3x) = -1 \) 2. \( \cos(3x) = 3 \)

Уравнение \( \cos(3x) = 3 \) не имеет решений в действительных числах, так как значение косинуса всегда находится в пределах [-1, 1].

Решим уравнение \( \cos(3x) = -1 \). Когда косинус равен -1, угол в радианах равен \( \pi + 2\pi k \), где \( k \) - целое число. В данном случае:

\[ 3x = \pi + 2\pi k \]

Теперь решим относительно \( x \):

\[ x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3} \]

Таким образом, уравнение \( \sin^2(3x) - 2\cos(3x) + 2 = 0 \) имеет бесконечное количество решений, задаваемых выражением \( x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3} \), где \( k \) - целое число.