Question

Две окружности пересекаются в точках C и D. Точка B — центр второй окружности, а отрезок AB — диаметр первой. Из точки CC провели касательную к первой окружности, которая пересекает вторую окружность в точке E, отличной от C. Найдите радиус первой окружности, если радиус второй равен 20, а длина отрезка CE равна 24.

Answer 1

Обозначим центр первой окружности буквой О, её радиус - r.
Из центра В второй окружности проведём перпендикуляр ВК к хорде СЕ.
Точка К будет серединой СЕ (по свойству хорды).
Найдём длину отрезка ВК:
ВК = √(ВЕ²-КЕ²) = √(20²-12²) = √(400-144) = √256 = 16.
Имеем четырёхугольник ОСКВ с двумя прямыми углами С и К.
Проведём перпендикуляр из точки О к отрезку ВК.
Получим прямоугольный треугольник с катетами 12 и (16 - r).
Гипотенуза этого треугольника равна радиусу r.
 r² = 12² + (16 - r)².
 r² = 144 + 256 -32r + r². 
32r = 400.
r = 400/32 = 100/8 = 25/2 = 12,5.
 

Answer 2

Пусть радиус первой окружности равен r.

Так как точка B является центром второй окружности, то отрезок AB равен двойному радиусу второй окружности, то есть AB = 2*20 = 40.

Также, отрезок CE равен 24.

Так как CC – касательная к первой окружности, то треугольник CCE является прямоугольным, и мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения длины отрезка CC:

CC^2 = CE^2 - EE^2

CC^2 = 24^2 - r^2

CC = √(576 - r^2)

Также, по теореме Пифагора для треугольника ABC с гипотенузой AB и катетами AC и BC, получаем:

AC^2 + BC^2 = AB^2

r^2 + (20 + r)^2 = 40^2

r^2 + 400 + 40r + r^2 = 1600

2r^2 + 40r - 1200 = 0

r^2 + 20r - 600 = 0

Далее, используя квадратное уравнение, находим значения r:

r = (-20 ± √(20^2 - 4*1*(-600))) / (2*1)

r = (-20 ± √(400 + 2400)) / 2

r = (-20 ± √(2800)) / 2

r = (-20 ± 2√(700)) / 2

r = -10 ± √(700)

Так как радиус не может быть отрицательным, то решением будет:

r = √(700) - 10

Таким образом, радиус первой окружности равен приблизительно 16.18.