Question

составьте уравнение касательной к графику функции f(x)=x^2-3 перпендикулярной прямой g(x)=x+3

Answer 1

Пусть $A(x_0, y_0)$ - точка касания.

Составим уравнение касательной:

$f(x_0)=x_0^2-3\\f'(x_0)=2x_0\\y=x_0^2-3+2x_0(x-x_0)=x_0^2-3+2x_0x-2x_0^2=2x_0x-x_0^2-3$

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной x+3 будет равен -1 (-1/k).

То есть $2x_0x=-x\Rightarrow x_0=-\frac12$

Тогда уравнение касательной к f(x), перпендикулярной g(x) будет иметь вид

$\y=2x_0x-x_0^2-3=-x-(-1)^2-3=-x-1-4=-x-4$

y=-x-4

Answer 2

Для составления уравнения касательной к графику функции f(x) = x^2 - 3, перпендикулярной прямой g(x) = x + 3, мы должны сначала найти точку касания этих двух кривых. Затем, используя производную функции f(x), мы сможем найти угловой коэффициент касательной и, наконец, составить уравнение касательной.

Нахождение точки касания

Чтобы найти точку касания, равенство f(x) = g(x) должно выполняться. Положим x^2 - 3 = x + 3 и решим это уравнение:

x^2 - x - 6 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя факторизацию или квадратное уравнение. Факторизируя, получим:

(x - 3)(x + 2) = 0

Это дает нам два возможных значения для x: x = 3 и x = -2.

Вычисление производной

Теперь нам нужно вычислить производную функции f(x) = x^2 - 3. Производная функции показывает скорость изменения функции в каждой точке и является угловым коэффициентом касательной к графику функции.

f'(x) = 2x

Нахождение углового коэффициента касательной

Для того чтобы уравнение касательной было перпендикулярно прямой g(x) = x + 3, угловые коэффициенты должны быть отрицательно-обратными числами.

Угловой коэффициент для прямой g(x) равен 1. Чтобы получить угловой коэффициент для касательной, мы можем взять обратное отрицательное число от 1. Таким образом, угловой коэффициент касательной будет -1.

Составление уравнения касательной

Учитывая точку касания (3, f(3)) или (-2, f(-2)) и угловой коэффициент -1, мы можем использовать формулу точки-наклона для составления уравнения касательной.

Для точки (3, f(3)): y - f(3) = -1(x - 3)

Для точки (-2, f(-2)): y - f(-2) = -1(x + 2)

Здесь y - f(3) или y - f(-2) представляет собой вертикальное смещение (смещение по оси y) относительно точки касания.

Подставив значение f(3) или f(-2) в уравнение, мы получим окончательное уравнение касательной.