Question

Сколько чётных шестизначных чисел, делящихся на 1515, сумма цифр которых не более 44?

Answer 1

Задача, очевидно, взята из Фоксфорда, потому что числа идут двойные.
Условие: Сколько существует четных шестизначных чисел, делящихся на 15,
сумма цифр которых не больше 4?
Автор в комментарии к ответу этот вопрос разъяснил.
Если число четное и делится на 15, то оно делится на 30, то есть на 3 и на 10.
Значит, оно, во-первых, кончается на 0, а во-вторых, сумма цифр делится на 3.
Так как сумма цифр должна быть не больше 4, то она равна строго 3.
3 = 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 = 1 + 2 + 0 + 0 + 0 + 0 = 2 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0
Первая цифра не может быть 0, значит, она 1 или 2. Последняя цифра 0.
1) 3 = 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0
Первая цифра 1, остальные 5 - это сочетания двух 1 из 4 цифр.
C(2, 4) = 4*3/2 = 6 вариантов.
2) 3 = 1 + 2 + 0 + 0 + 0 + 0
Первая 1, цифра 2 может занять любое из 4 мест. Это 4 варианта.
3) 3 = 2 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0
Первая 2, цифра 1 может занять любое из 4 мест. Это 4 варианта.
4) 3 = 3 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0
Тут только одно число 300000.
Всего 6 + 4 + 4 + 1 = 15 вариантов.

Answer 2

Давайте разберёмся с этой задачей.

Шестизначные числа имеют следующий вид: ABCDEF, где каждая буква представляет собой одну из цифр. Поскольку число чётное, последняя цифра (F) должна быть чётной.

Также, по условию, число должно делиться на 1515. Давайте выясним, какие у 1515 делители. Факторизуем 1515:

1515 = 3 * 5 * 101

Теперь мы знаем, что наше число должно делиться на 3, 5 и 101.

Теперь, учитывая, что сумма цифр числа не должна превышать 44, мы можем взять каждую цифру от 1 до 9 включительно (чтобы сумма была не более 44).

Рассмотрим возможные значения:

1. Поскольку число делится на 3, сумма его цифр также должна делиться на 3. Поэтому возможные комбинации для суммы цифр (A+B+C+D+E) могут быть 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42.

2. Сумма цифр не должна превышать 44, поэтому мы можем исключить некоторые комбинации.

3. Число делится на 5, поэтому последняя цифра (F) должна быть 0 или 5.

Теперь давайте посмотрим на комбинации суммы цифр, учитывая ограничения:

- Сумма 42: ABCDEF = 999999 (сумма цифр равна 54, и это не подходит). - Сумма 39: ABCDEF = 999990 (сумма цифр равна 45, не подходит). - Сумма 36: ABCDEF = 999981 (сумма цифр равна 45, не подходит). - Сумма 33: ABCDEF = 999972 (сумма цифр равна 45, не подходит). - Сумма 30: ABCDEF = 999963 (сумма цифр равна 45, не подходит). - Сумма 27: ABCDEF = 999954 (сумма цифр равна 45, не подходит). - Сумма 24: ABCDEF = 999945 (сумма цифр равна 45, не подходит). - Сумма 21: ABCDEF = 999936 (сумма цифр равна 45, не подходит). - Сумма 18: ABCDEF = 999927 (сумма цифр равна 45, не подходит). - Сумма 15: ABCDEF = 999918 (сумма цифр равна 45, не подходит). - Сумма 12: ABCDEF = 999909 (сумма цифр равна 45, не подходит). - Сумма 9: ABCDEF = 999900 (сумма цифр равна 45, не подходит). - Сумма 6: ABCDEF = 999891 (сумма цифр равна 45, не подходит). - Сумма 3: ABCDEF = 999882 (сумма цифр равна 45, не подходит).

Таким образом, нет шестизначных чётных чисел, делящихся на 1515, сумма цифр которых не превышает 44.