Question

Неопределенный интеграл dx/(2+x^2)

Answer 1

$\int { \frac{dx }{2+x^2} }= \int { \frac{dx }{(\sqrt{2})^2 +x^2} }= \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\frac{x}{\sqrt{2}}+C,$ где С=const

Answer 2

Конечно, давайте рассмотрим неопределенный интеграл:

\[ \int \frac{dx}{2 + x^2} \]

Для решения этого интеграла мы можем воспользоваться методом подстановки. Пусть \( u = x^2 + 2 \), тогда \( du/dx = 2x \), и, следовательно, \( dx = du/(2x) \). Теперь мы можем заменить переменные в интеграле:

\[ \int \frac{dx}{2 + x^2} = \int \frac{du}{u} \]

Теперь мы можем проинтегрировать это выражение по переменной \( u \):

\[ \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C \]

Здесь \( C \) - константа интегрирования. Теперь давайте вернемся к переменным \( x \). Помним, что \( u = x^2 + 2 \), поэтому:

\[ \ln|u| + C = \ln|x^2 + 2| + C \]

Таким образом, окончательный ответ на неопределенный интеграл:

\[ \int \frac{dx}{2 + x^2} = \ln|x^2 + 2| + C \]

где \( C \) - произвольная константа.