Question

Вычислите площадь фигуры , ограниченной графиками функций y=x^2-x , y= 3x

Answer 1

Найдём абсциссы точек пересечения графиков функций
у1 = х² - х  и  у2 = 3х, приравняв ординаты
х² - х = 3х
х² -4х = 0
х(х - 4) = 0
х1 = 0; х2 = 4
Найдём площадь фигуры, ограниченной графиками функций у1 и у2, учитывая то, что у1 > y2 в интервале от х = 0 до х = 4.
S = ₀∫⁴ [3x - (x² - x)] dx = ₀∫⁴ (4x - x²) dx = [4x²/2 - x³/3]₀⁴ = 2·4² - 4³/3 =
= 32 - 64/3 = 96/3 - 64/3 = 32/3 =10 2/3
Ответ: S = 10 2/3

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций y=x^2-x и y=3x, необходимо найти точки пересечения этих функций и найти интеграл от разности этих функций в пределах этих точек.

Сначала найдем точки пересечения этих функций, приравняв их:

x^2-x = 3x

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

x^2-4x = 0

x(x-4) = 0

Отсюда получаем два значения x: x=0 и x=4.

Теперь найдем интеграл от разности функций y=x^2-x и y=3x в пределах от x=0 до x=4:

∫[0,4] (x^2-x - 3x) dx

= ∫[0,4] (x^2-4x) dx

= (1/3)x^3 - 2x^2 |[0,4]

= (1/3)(4^3) - 2(4^2) - [(1/3)(0^3) - 2(0^2)]

= (1/3)(64) - 2(16) - 0

= 64/3 - 32

= 32/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x^2-x и y=3x, равна 32/3.