Question

Верно ли, что точная сумма двух чисел больше суммы приближений с недостатком до любого разряда (или равна ей) и меньше суммы приближений с избытком до любого разряда (или равна ей)?

Answer 1

Я считаю что да,верно

Answer 2

Это утверждение, как правило, верно и отражает основные принципы математики.

Представьте два числа, скажем, \(a\) и \(b\). Точная сумма этих чисел будет равна \(a + b\).

Если округлить каждое из чисел \(a\) и \(b\) с недостатком до любого разряда (округление в меньшую сторону), обозначив их округленные значения как \(\lfloor a \rfloor\) и \(\lfloor b \rfloor\), то сумма этих округленных значений будет \(\lfloor a \rfloor + \lfloor b \rfloor\).

Если же округлить каждое из чисел \(a\) и \(b\) с избытком до любого разряда (округление в большую сторону), обозначив их округленные значения как \(\lceil a \rceil\) и \(\lceil b \rceil\), то сумма этих округленных значений будет \(\lceil a \rceil + \lceil b \rceil\).

Итак, утверждение гласит, что точная сумма \(a + b\) будет больше или равна сумме округленных значений с недостатком (\(\lfloor a \rfloor + \lfloor b \rfloor\)) и меньше или равна сумме округленных значений с избытком (\(\lceil a \rceil + \lceil b \rceil\)).

Это имеет место быть из-за того, что округление с недостатком всегда приближает число вниз, в то время как округление с избытком приближает число вверх. Таким образом, точная сумма чисел будет лежать между этими двумя границами.

Пример: Пусть \(a = 3.2\) и \(b = 4.8\). Точная сумма \(a + b = 8\). \(\lfloor a \rfloor + \lfloor b \rfloor = 3 + 4 = 7\) (округление с недостатком). \(\lceil a \rceil + \lceil b \rceil = 4 + 5 = 9\) (округление с избытком).

Здесь точная сумма \(8\) находится между \(7\) и \(9\), что подтверждает данное утверждение.