Question

Исследовать на сходимость интеграл от 0 до бесконечности (x^(1/5))/((x^2-12x+35)^(1/3))

Answer 1

Вот это правильно     на 100% 
                       

Answer 2

Для исследования сходимости данного интеграла, мы можем использовать методы анализа сходимости, такие как сравнение и интегральный признак.

Используем сравнение

Для начала, давайте рассмотрим функцию в числителе и знаменателе интеграла. Функция в числителе - `x^(1/5)` - растет медленнее, чем функция в знаменателе - `((x^2-12x+35)^(1/3))`. Поэтому, нам может быть полезно сравнить данный интеграл с интегралом функции в знаменателе.

Давайте рассмотрим интеграл функции в знаменателе. Изначально, мы можем попытаться разложить выражение `(x^2-12x+35)^(1/3)` на множители и упростить его. Найдем корни этого выражения:

x^2 - 12x + 35 = 0
(x - 5)(x - 7) = 0

Таким образом, уравнение имеет два корня: `x = 5` и `x = 7`. Мы можем использовать эти корни для разложения функции в знаменателе на множители:

(x^2-12x+35)^(1/3) = ((x-5)(x-7))^(1/3)
                   = (x-5)^(1/3)(x-7)^(1/3)

Теперь, мы можем переписать исходный интеграл следующим образом:

∫(x^(1/5))/((x^2-12x+35)^(1/3)) dx = ∫(x^(1/5))/((x-5)^(1/3)(x-7)^(1/3)) dx

Теперь, давайте рассмотрим интеграл функции в знаменателе. Поскольку функция в знаменателе положительна в окрестности `(5, 7)` и монотонно возрастает на этом интервале, мы можем использовать интегральный признак для проверки сходимости.

Используем интегральный признак

Интегральный признак гласит, что если интеграл от положительной монотонно убывающей функции `f(x)` сходится, то исходный интеграл сходится, а если интеграл `f(x)` расходится, то исходный интеграл также расходится.

В нашем случае, функция в знаменателе `(x-5)^(1/3)(x-7)^(1/3)` положительна и монотонно возрастает на интервале `(5, 7)`. Мы можем рассмотреть интеграл этой функции на интервале `(5, 7)`:

∫[(x-5)^(1/3)(x-7)^(1/3)] dx

Для упрощения вычислений, можно внести под корень `(x-5)^(1/3)(x-7)^(1/3)` и взять замену `u = x - 6`:

∫[u^(1/3 + 1) * (u + 1)^(1/3)] du

Теперь, мы можем вычислить интеграл:

∫[u^(1/3 + 1) * (u + 1)^(1/3)] du = ∫[u^(4/3) * (u + 1)^(1/3)] du

Данный интеграл сходится, так как функция `(u + 1)^(1/3)` является интегрируемой и ограниченной на интервале `(5, 7)`.

Таким образом, по интегральному признаку, исходный интеграл:

∫(x^(1/5))/((x^2-12x+35)^(1/3)) dx

также сходится на интервале `(5, 7)`.

Вывод

Исследовав сходимость данного интеграла, мы пришли к выводу, что он сходится на интервале `(5, 7)`. Однако, чтобы убедиться в сходимости на интервале `[0, ∞)`, необходимо провести дополнительное исследование на бесконечности.