Question

ФОРМУЛУ! В правильный треугольник вписана окружность. Найти отношение площади круга к площади фигуры образованной отрезками двух сторон треугольника и дугой окружности, касательной к этим сторонам.

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Пусть у нас есть правильный треугольник со стороной \(a\), в который вписана окружность. Также, пусть \(r\) - радиус этой вписанной окружности.

1. Нахождение сторон треугольника: В правильном треугольнике все стороны равны между собой. Таким образом, длина каждой стороны треугольника равна \(a\).

2. Нахождение площади треугольника: Площадь правильного треугольника можно вычислить, используя формулу: \[S_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2\]

3. Нахождение площади круга: Площадь круга можно вычислить по формуле: \[S_{\text{круга}} = \pi \cdot r^2\]

4. Нахождение площади фигуры, образованной отрезками двух сторон треугольника и дугой окружности: Для нахождения этой площади, давайте рассмотрим угол в центре окружности, соответствующий этой дуге. Этот угол равен 60 градусам, так как у нас правильный треугольник.

Теперь, площадь фигуры образованной отрезками двух сторон треугольника и дугой окружности можно выразить как разность площади сектора и площади треугольника, образованного центром окружности и концами двух сторон треугольника: \[S_{\text{фигуры}} = \frac{1}{6}\pi a^2 - \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2\]

5. Нахождение отношения площадей: Теперь, найдем отношение площади круга к площади фигуры: \[\frac{S_{\text{круга}}}{S_{\text{фигуры}}} = \frac{\pi \cdot r^2}{\frac{1}{6}\pi a^2 - \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2}\]

Подставим \(r = \frac{a}{2}\) (так как вписанная окружность в правильный треугольник делит его стороны на две равные части): \[\frac{S_{\text{круга}}}{S_{\text{фигуры}}} = \frac{\pi \cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2}{\frac{1}{6}\pi a^2 - \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2}\]

После упрощения и сокращения можно получить окончательный ответ.