Question

Как решить уравнение cos2x=-9cosx+4

Answer 1

Решение в прикрепленном фото

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение \( \cos(2x) = -9\cos(x) + 4 \). Для решения этого уравнения, давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами и преобразим уравнение:

1. Используем тождество двойного угла для косинуса: \[ \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \]

Теперь уравнение примет вид: \[ 2\cos^2(x) - 1 = -9\cos(x) + 4 \]

2. Приведем уравнение к квадратному виду: \[ 2\cos^2(x) + 9\cos(x) - 5 = 0 \]

3. Решим квадратное уравнение: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 2 \), \( b = 9 \), и \( c = -5 \).

\[ D = 9^2 - 4(2)(-5) = 81 + 40 = 121 \]

Так как \( D > 0 \), у нас есть два вещественных корня.

\[ \cos(x) = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ \cos(x) = \frac{-9 \pm \sqrt{121}}{4} \] \[ \cos(x) = \frac{-9 \pm 11}{4} \]

Таким образом, у нас есть два возможных значения \(\cos(x)\): - Когда \(\cos(x) = \frac{1}{2}\) (положительный корень). - Когда \(\cos(x) = -5\) (отрицательный корень).

4. Найдем соответствующие значения \(x\): - Когда \(\cos(x) = \frac{1}{2}\), это соответствует углу \(x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k\) и \(x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k\), где \(k\) - любое целое число. - Когда \(\cos(x) = -5\), такого значения угла не существует, так как косинус всегда находится в интервале от -1 до 1.

Таким образом, уравнение \( \cos(2x) = -9\cos(x) + 4 \) имеет решения: \[ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k, \] где \( k \) - любое целое число.