Question

Докажите,что число 2^2013 - 1 - составное.

Answer 1

Рассмотрим число $2^{2013}$:
нам нужно определить, на какую цифру заканчивается это число.
выпишем последние цифры степеней двойки: $2^{1}$=1, $2^{2}$=4, $2^{3}$=8, $2^{4}$=16 (берем последнюю цифру и умножаем на 2), $2^{5}$= 6*2=12 и т.д Они будут чередоваться в такой последовательности: 2, 4, 8, 6...
Последняя цифра степени зависит от того, с каким остатком показатель степени делится на 4. (например, 1, 5, 2013) ⇒
⇒последняя цифра числа $2^{2013}$ =3

возьмем число $2^{2013}$-1:
оно будет заканчиваться на 2 (3-1) ⇒
⇒ это число составное, т.к. будет делиться не только на само себя и 1, но и на 2 (по признаку делимости на 2) 

Answer 2

Чтобы доказать, что число 2^2013 - 1 является составным, мы можем использовать теорему о делителях числа 2^n - 1 для нечетного n. Эта теорема говорит, что если n - нечетное число, то число 2^n - 1 всегда будет иметь делители, отличные от 1 и самого числа.

Давайте применим эту теорему к числу 2^2013 - 1. В данном случае n равно 2013, и, поскольку это нечетное число, мы можем утверждать, что 2^2013 - 1 будет иметь делители, отличные от 1 и самого числа.

Теперь давайте рассмотрим делители числа 2^2013 - 1. Один из таких делителей - это число 3. Мы можем увидеть это, разложив число 2^2013 - 1 на множители:

2^2013 - 1 = (2^671)^3 - 1 = (2^671 - 1)(2^1342 + 2^671 + 1)

Мы видим, что первый множитель, 2^671 - 1, является делителем числа 2^2013 - 1. Это означает, что число 2^2013 - 1 является составным числом, так как оно имеет делители, отличные от 1 и самого числа.

Таким образом, мы доказали, что число 2^2013 - 1 является составным.