Question

Решите уравнение (x-1)(x^2+6x+9)=5(x+3)

Answer 1

$(x-1)(x^2+6x+9)=5(x+3)$

Перенесем все в левую часть 

$(x-1)(x^2+6x+9)-5(x+3)=0 \\ (x-1)(x+3)^2-5(x+3)=0$

Выносим общий множитель

$(x+3)*((x-1)(x+3)-5)=0 \\ (x-1)(x^2+2x-8)=0$

Решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи

$x+3=0 \\ x_1=-3$

$x^2+2x-8=0$
Находим дискриминант

$D=b^2-4ac=2^2-4*1*(-8)=36 \\ \sqrt{D}=6$

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения

$x_2= \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \frac{-2+6}{2} =2 \\ x_3=\frac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \frac{-2-6}{2} =-4$

Ответ: x = -4; x = -3; x = 2.

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

1. Распределите множители в скобках, используя правило дистрибутивности:

(x - 1)(x^2 + 6x + 9) = 5(x + 3)

x(x^2 + 6x + 9) - 1(x^2 + 6x + 9) = 5x + 15

x^3 + 6x^2 + 9x - x^2 - 6x - 9 = 5x + 15

2. Соберите все члены с переменными на одной стороне уравнения, а все константы на другой:

x^3 + 6x^2 + 9x - x^2 - 6x - 9 - 5x - 15 = 0

x^3 + 5x^2 - 2x - 24 = 0

3. Упростите уравнение и приведите его к стандартному виду:

x^3 + 5x^2 - 2x - 24 = 0

4. Попробуйте найти рациональные корни уравнения, используя рациональный корень теоремы. В данном случае, рациональные корни могут быть вида p/q, где p - делитель свободного члена (-24), а q - делитель старшего коэффициента (1).

Попробуем различные значения p и q, чтобы найти рациональные корни. Если найдется рациональный корень, то это поможет нам факторизовать уравнение и найти остальные корни:

При p = 1 и q = 1: 1/1, -1/1, 2/1, -2/1, 3/1, -3/1, 4/1, -4/1, 6/1, -6/1, 8/1, -8/1, 12/1, -12/1, 24/1, -24/1 (проверим каждый из этих значений)

Подставим p/q в уравнение и проверим, равно ли оно нулю:

При x = 1: 1^3 + 5(1)^2 - 2(1) - 24 = 1 + 5 - 2 - 24 = -20 При x = -1: (-1)^3 + 5(-1)^2 - 2(-1) - 24 = -1 + 5 + 2 - 24 = -18 При x = 2: 2^3 + 5(2)^2 - 2(2) - 24 = 8 + 20 - 4 - 24 = 0

Мы нашли рациональный корень x = 2, так как при подстановке он сделал уравнение равным нулю.

5. Факторизуйте уравнение, используя найденный рациональный корень:

x^3 + 5x^2 - 2x - 24 = 0

(x - 2)(x^2 + 7x + 12) = 0

6. Решите квадратное уравнение в скобках:

x^2 + 7x + 12 = 0

(x + 3)(x + 4) = 0

7. Найдите значения x, при которых каждый множитель равен нулю:

x - 2 = 0 --> x = 2 x + 3 = 0 --> x = -3 x + 4 = 0 --> x = -4

Таким образом, уравнение (x - 1)(x^2 + 6x + 9) = 5(x + 3) имеет три решения: x = 2, x = -3 и x = -4.