Question

Укажите наименьший корень уравнения 2log5cosx=log0,2 4

Answer 1

Cosx >0
log 5 cos²x = log 5 (1/4)
cos²x = 1/4
cos x = 1/2 ( -1/2 не входит в область определения)
x = +-π/3 + 2πn,    n∈Z
Наименьшего корня не существует (бесконечно много), но наименьший положительный 60°

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы должны найти значение x, при котором уравнение выполняется. Давайте приступим к его решению.

Шаг 1: Приведение уравнения к более простому виду

Первым шагом в решении уравнения является приведение его к более простому виду. В данном случае, мы можем использовать свойство логарифма, которое гласит, что log(a*b) = log(a) + log(b). Применим это свойство к уравнению:

2log5(cosx) = log0.2 + 4

Теперь давайте применим другое свойство логарифма, которое гласит, что log(a^n) = n*log(a). Применим это свойство к левой стороне уравнения:

log5((cosx)^2) = log0.2 + 4

Шаг 2: Использование свойства эквивалентности логарифмов

Следующим шагом является использование свойства эквивалентности логарифмов, которое гласит, что если log(a) = log(b), то a = b. Применим это свойство к уравнению:

(cosx)^2 = 5^(log0.2 + 4)

Шаг 3: Раскрытие логарифма и упрощение выражения

Теперь давайте раскроем логарифм в правой стороне уравнения:

(cosx)^2 = 5^(log0.2) * 5^4

Далее, воспользуемся свойством логарифма, которое гласит, что loga(b) = c эквивалентно a^c = b. Применим это свойство к уравнению:

(cosx)^2 = 0.2 * 625

Шаг 4: Вычисление значения

Теперь вычислим правую сторону уравнения:

(cosx)^2 = 125

Шаг 5: Извлечение корня

Для того чтобы найти x, мы должны извлечь корень из обеих сторон уравнения:

cosx = sqrt(125)

Шаг 6: Нахождение значений угла

Косинус является периодической функцией с периодом 2π. Так как в данном случае мы ищем наименьший корень, мы можем ограничиться рассмотрением значений угла в интервале 0 ≤ x < 2π.

cosx = sqrt(125) приводит к двум возможным значениям x:

x1 = arccos(sqrt(125)) x2 = -arccos(sqrt(125))

Шаг 7: Окончательный ответ

Так как мы ищем наименьший корень, нас интересует значение x1. Ответом на уравнение будет:

x = arccos(sqrt(125))

Пожалуйста, обратите внимание, что ответ представлен в радианах. Если вам требуется ответ в градусах, вы можете преобразовать его, умножив на (180/π).