Question

Даны четыре точки A(2;1;1),B(1;-1;2),C(3;1;0),D(2;-3;4). найдите косинус угла B между векторами AB и CD

Answer 1

Если нигде не ошиблась в подсчетах, то ответ должен быть как во вложении

Answer 2

Чтобы найти косинус угла между двумя векторами, мы можем использовать следующую формулу:

\[ \cos(\theta) = \frac{{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{CD}}}{{\|\mathbf{AB}\| \cdot \|\mathbf{CD}\|}} \]

где \(\mathbf{AB}\) - это вектор, соединяющий точки A и B, \(\mathbf{CD}\) - вектор, соединяющий точки C и D, \(\cdot\) - скалярное произведение векторов, и \(\|\mathbf{AB}\|\) и \(\|\mathbf{CD}\|\) - длины соответствующих векторов.

Давайте найдем эти векторы:

1. Вектор \(\mathbf{AB}\):

\[ \mathbf{AB} = \begin{bmatrix} 1 - 2 \\ (-1) - 1 \\ 2 - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} \]

2. Вектор \(\mathbf{CD}\):

\[ \mathbf{CD} = \begin{bmatrix} 3 - 2 \\ 1 - (-3) \\ 0 - 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ -4 \end{bmatrix} \]

Теперь найдем длины этих векторов:

\[ \|\mathbf{AB}\| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6} \]

\[ \|\mathbf{CD}\| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{33} \]

Теперь вычислим скалярное произведение и подставим значения в формулу для косинуса угла:

\[ \cos(\theta) = \frac{\begin{bmatrix}-1 & -2 & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1 \\ 4 \\ -4\end{bmatrix}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{33}} \]

Вычисляем числитель:

\[ \begin{bmatrix}-1 & -2 & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1 \\ 4 \\ -4\end{bmatrix} = (-1) \cdot 1 + (-2) \cdot 4 + 1 \cdot (-4) = -1 - 8 - 4 = -13 \]

Теперь подставим значения:

\[ \cos(\theta) = \frac{-13}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{33}} \]

Таким образом, мы нашли косинус угла между векторами \(\mathbf{AB}\) и \(\mathbf{CD}\).