Question

Докажи, что для натуральных чисел верны утверждения: а)Сумма двух четных чисел - число число четное. б)Сумма любых двух соседних чисел - число нечетное в)разность четного и нечетного числа - число нечетное г)Произведение любых двух соседних чисел - число четное .

Answer 1

Натуральные числа (продолжаем разговаривать о них) бывают четными и нечетными.

Четные числа — это числа, делящиеся на 2. Их всегда можно представить в виде k = 2*n, где n — любое натуральное число.

Нечетные числа — это числа, не делящиеся на 2. Каждое из них может быть записано как m = 2*n + 1.
Что это значит?

Это значит, что если у нас есть куча из k = 2*n предметов (яблок, апельсинов, кирпичей, etc.), мы ее можем смело разложить на две РАВНЫЕ кучки поменьше. В каждой из них окажется по n предметов.
Если число образующих кучу вещей нечетно: m = 2*n + 1 (n ≥ 0), то как бы мы ни старались, двух одинаковых кучек из нее нам не получить. Один предмет всегда будет лишним.

СУММА ЧЕТНОГО И НЕЧЕТНОГО ЧИСЛА - НЕЧЕТНОЕ ЧИСЛО
Формально это записывается следующим образом.

Пусть есть два числа:
четное m = 2*n
и
нечетное p = 2*r + 1 (можно и 2*r - 1)

Тогда m + p = (2*n) + (2*r + 1) = 2*n + 2*r + 1 = 2*(n+r) + 1

Если мы обозначим натуральное число (n+r) через s, получим: m + p = 2*s +1.

Это и означает, что суммой четного и нечетного чисел всегда является число нечетное.

РАЗНОСТЬ ЧЕТНОГО И НЕЧЕТНОГО ЧИСЛА - НЕЧЕТНОЕ ЧИСЛО
Аналогичным образом легко доказать, что разность четного и нечетного числа — всегда число нечетное.

m - p = (2*n) - (2*r + 1) = 2*n - 2*r + 1 = 2*(n-r) + 1
отсюда: m + p = 2*s -1

Что и требовалось доказать!!!!

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое утверждение отдельно и докажем его.

а) Сумма двух четных чисел - четное число:

Пусть у нас есть два четных числа, представимые как \(2a\) и \(2b\), где \(a\) и \(b\) - целые числа. Тогда сумма этих двух чисел будет:

\[2a + 2b = 2(a + b)\]

Где \(a + b\) также является целым числом. Таким образом, сумма двух четных чисел представляет собой произведение числа \(2\) на целое число и, следовательно, является четным числом.

б) Сумма любых двух соседних чисел - нечетное число:

Пусть у нас есть два соседних числа, представимые как \(n\) и \(n + 1\), где \(n\) - целое число. Тогда их сумма будет:

\[n + (n + 1) = 2n + 1\]

Где \(2n\) является четным числом. Прибавление единицы к четному числу дает нечетное число. Таким образом, сумма любых двух соседних чисел является нечетным числом.

в) Разность четного и нечетного числа - нечетное число:

Пусть у нас есть четное число, представимое как \(2a\), и нечетное число, представимое как \(2b + 1\), где \(a\) и \(b\) - целые числа. Тогда разность между ними будет:

\[2a - (2b + 1) = 2a - 2b - 1 = 2(a - b) - 1\]

Где \(a - b\) является целым числом. Таким образом, разность четного и нечетного числа представляет собой произведение числа \(2\) на целое число, уменьшенное на единицу, и, следовательно, является нечетным числом.

г) Произведение любых двух соседних чисел - четное число:

Пусть у нас есть два соседних числа, представимые как \(n\) и \(n + 1\), где \(n\) - целое число. Тогда их произведение будет:

\[n \cdot (n + 1) = n^2 + n\]

Где \(n^2\) является четным числом (так как это квадрат целого числа). Прибавление к четному числу еще одного числа (в данном случае \(n\)) не изменяет четности. Таким образом, произведение любых двух соседних чисел является четным числом.