Question

Сколько корней уравнения sin3x+|sinx|=sin2x принадлежащие промежутку [0;2π).

Answer 1

Для начала, давайте рассмотрим уравнение sin3x + |sinx| = sin2x на промежутке [0; 2π).

Заметим, что у нас есть модуль |sinx|. Это значит, что у нас есть два случая:

1) sinx ≥ 0: в этом случае модуль не влияет на уравнение, и мы можем его игнорировать. Тогда получаем sin3x = sin2x.

2) sinx < 0: в этом случае модуль меняет знак у sinx, и мы должны учесть это в уравнении. Тогда получаем sin3x = -sinx + sin2x.

Рассмотрим первый случай:

sin3x = sin2x

Приведем это уравнение к более простому виду, используя формулу синуса двойного угла:

sin3x = 2sinx*cosx

2sinx*cosx = sin2x

Применим формулу для двойного синуса:

2sinx*cosx = 2sinx*cos^2(x) - 2cosx*sin^2(x)

2sinx*cosx = 2sinx*(1 - sin^2(x)) - 2cosx*sin^2(x)

2sinx*cosx = 2sinx - 2sin^3(x) - 2cosx*sin^2(x)

2sinx*cosx - 2sinx + 2sin^3(x) + 2cosx*sin^2(x) = 0

2sinx(cosx - 1) + 2sin^3(x) + 2cosx*sin^2(x) = 0

2sinx(cosx - 1) + 2sin^2(x)(sinx + cosx) = 0

Теперь рассмотрим второй случай:

sin3x = -sinx + sin2x

Приведем это уравнение к более простому виду, используя формулу синуса двойного угла:

sin3x = 2sinx*cosx - sinx

2sinx*cosx - sinx = sin2x

Применим формулу для двойного синуса:

2sinx*cosx - sinx = 2sinx*cos^2(x) - sinx

2sinx*cosx - sinx = 2sinx*(1 - sin^2(x)) - sinx

2sinx*cosx - sinx = 2sinx - 2sin^3(x) - sinx

2sinx*cosx - 2sinx + 2sin^3(x) + sinx = 0

2sinx(cosx - 1) + 2sin^3(x) + sinx = 0

Объединяя оба случая, получаем:

2sinx(cosx - 1) + 2sin^3(x) + 2cosx*sin^2(x) = 0

Теперь мы можем решить это уравнение.