Question

Помогите пожалуйста решить уравнения:1.) ctg (2x+п/4)= - корень из 32.) tg (5x-п/3)= 1

Answer 1

Ctg(2x+ \pi /4)=\sqrt3 
2x+ \pi /4 = arccot (\sqrt3)
2x+ \pi / 4 = \pi / 6 
2x + \pi / 6 - \pi /4 + k \pi , k Є Z
2x + \pi / 4 = \pi /6 + k \pi , k Є Z
2x = \pi / 6 - \pi / 4 + 2x + k \pi , k Є Z
2x= - \pi/12 + 2x + k \pi , k Є Z
x= - \pi/24 + k \pi / 2 ,  k  Є Z
x = 11 \pi / 24 + k /pi / 2 , k Є Z

Answer 2

Решение уравнения 1: ctg(2x + π/4) = -√3

Для начала, давайте приведем уравнение к более простому виду. Вспомним, что ctg(x) является обратной функцией для tg(x), поэтому можем записать уравнение следующим образом:

tg(2x + π/4) = -1/√3

Затем, применим тригонометрическое тождество:

tg(α) = sin(α) / cos(α)

tg(2x + π/4) = -1/√3

sin(2x + π/4) / cos(2x + π/4) = -1/√3

Умножим обе стороны уравнения на √3:

√3 * sin(2x + π/4) / cos(2x + π/4) = -1

Заметим, что √3 * sin(2x + π/4) можно представить в виде синуса угла β:

sin(β) = √3 * sin(2x + π/4)

cos(2x + π/4) = -1

Теперь получаем:

sin(β) / cos(2x + π/4) = -1

Используя тригонометрическое тождество:

tg(β) = sin(β) / cos(β)

Получаем:

tg(β) = -1

Теперь найдем значение угла β, для которого tg(β) = -1. Рассмотрим основное значение угла β:

β = -π/4

Также, помним, что:

2x + π/4 = β

2x + π/4 = -π/4

2x = -π/4 - π/4

2x = -π/2

x = -π/4

Таким образом, решением уравнения ctg(2x + π/4) = -√3 является x = -π/4.

Решение уравнения 2: tg(5x - π/3) = 1

Аналогично предыдущему решению, применим тригонометрическое тождество:

tg(α) = sin(α) / cos(α)

tg(5x - π/3) = 1

sin(5x - π/3) / cos(5x - π/3) = 1

Умножим обе стороны уравнения на cos(5x - π/3):

sin(5x - π/3) = cos(5x - π/3)

Теперь используем тригонометрическое тождество:

sin(α) = cos(π/2 - α)

sin(5x - π/3) = cos(π/2 - (5x - π/3))

sin(5x - π/3) = cos(π/2 - 5x + π/3)

sin(5x - π/3) = cos(π/6 - 5x)

Теперь, сравним аргументы синуса и косинуса:

5x - π/3 = π/6 - 5x

10x = π/6 + π/3

10x = π/2

x = π/20

Таким образом, решением уравнения tg(5x - π/3) = 1 является x = π/20.