Question

Докозать что сумма растояний от любой точки правильного треугольника до его сторон равна высоте треугольника

Answer 1

Пусть имеем правильный треугольник ABC и точку О внутри его

OD, OE и OF высоты соответственно на стороны AB,BC и AC.

Тогда

   Sabc=Saob+Sboc+Saoc = AB*OD/2 +BC*OE/2 + AC*OF/2 =AB*(OD+OE+OF)/2

Здесь учтено, что AB=BC=AC

То есть

           (OD+OE+OF)/2=2Sabc/AB=h 

Answer 2

Давайте рассмотрим правильный треугольник ABC, где все его стороны и углы равны. Пусть O — центр вписанной окружности, внутри которой находится треугольник ABC.

Теперь возьмем произвольную точку P внутри треугольника ABC и проведем от нее перпендикуляры к сторонам треугольника, обозначив их длины как d1, d2 и d3.

1. Докажем, что P — центр вписанной окружности. Поскольку P лежит внутри треугольника ABC, отрезки, соединяющие P с вершинами треугольника, не пересекаются с его сторонами. Поэтому P является центром вписанной окружности.

2. Докажем, что d1 + d2 = высоте треугольника из вершины C. Отрезок d1 — это проекция точки P на сторону AB. Аналогично, d2 — это проекция точки P на сторону AC. Поскольку треугольник ABC — правильный, высота из вершины C также является медианой и биссектрисой. Таким образом, d1 + d2 равно высоте из вершины C.

3. Аналогично, докажем, что d1 + d3 = высоте треугольника из вершины B. Отрезок d1 — это проекция точки P на сторону AB, а d3 — на сторону BC. Поскольку треугольник ABC — правильный, высота из вершины B также является медианой и биссектрисой. Таким образом, d1 + d3 равно высоте из вершины B.

4. И, наконец, докажем, что d2 + d3 = высоте треугольника из вершины A. Отрезок d2 — это проекция точки P на сторону AC, а d3 — на сторону BC. Аналогично предыдущим пунктам, высота из вершины A является медианой и биссектрисой. Таким образом, d2 + d3 равно высоте из вершины A.

Таким образом, мы доказали, что сумма расстояний от любой точки внутри правильного треугольника до его сторон равна высоте треугольника из этой точки.