Question

В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведены к гипотенузе медиана и высота. Найти косинус острого угла, образованного медианой и высотой, если один из острых углов треугольника равен 40.

Answer 1

Если один из острых углов треугольника равен 40°, то второй равен 90°- 40° = 50°. 
Угол между медианой и высотой, проведёнными к гипотенузе, равен разности острых углов прямоугольного треугольника.
α = 50°- 40° = 10°.
Косинус 10° = 0,984808.

Answer 2

Пусть A - вершина прямого угла, B и C - концы медианы и высоты соответственно, D - точка пересечения медианы и высоты. Поскольку D - точка пересечения медианы и высоты, то AD является медианой, а BD - половиной гипотенузы. Пусть x - длина BD, тогда AD = 2x (поскольку AD является медианой).

Поскольку треугольник ABC прямоугольный, то угол A равен 90°, а угол B равен 40°.

Так как треугольник ABD также прямоугольный, то угол ABD равен 90°, а угол BDA равен 40°.

Таким образом, угол ADB равен 180° - 90° - 40° = 50°.

Треугольник ABD является прямоугольным, поэтому можно использовать теорему косинусов:

cos(ADB) = (AB² + BD² - AD²) / (2 * AB * BD)

Поскольку треугольник ABC прямоугольный, то AB - гипотенуза, равная BC.

Так как треугольник ABC прямоугольный, то AB² = BC² + AC².

Поскольку угол B равен 40°, то угол ACB равен 90° - 40° = 50°.

Таким образом, треугольник ABC является прямоугольным с углами 40°, 50° и 90°.

Теперь мы можем выразить AB² через x:

AB² = BC² + AC² = (2x)² + x² = 4x² + x² = 5x²

Теперь мы можем выразить AD через x:

AD = 2x

Теперь мы можем выразить BD через x:

BD = x

Теперь мы можем выразить cos(ADB) через x:

cos(ADB) = (AB² + BD² - AD²) / (2 * AB * BD) = (5x² + x² - (2x)²) / (2 * (5x) * x) = (5x² + x² - 4x²) / (10x²) = (2x²) / (10x²) = 2/10 = 1/5 = 0.2

Таким образом, косинус острого угла, образованного медианой и высотой, равен 0.2.