Question

На доске записано чисал 1,2,3...,99,100. Можно ли зачеркнуть несколько 10 чисел так, чтобы среди 90 чисел, которые остались, не нашлось ни одной арфиметической прогрессии из 10 чисел

Answer 1

На доске написаны натуральные числа 1, 2, 3,…, 100. Разрешается стереть любые два числа и записать модуль их разности, после чего количество написанных чисел уменьшается на 1. Может ли после 99 таких операций остаться записанным на доске число 1 ?Решение:Подсчитаем общую сумму начальных 100 чисел :
1 + 2 + 3 + …+ 100 = 5050.
Эта сумма оказалась четной . Переходя к следующему набору чисел , мы фактически в этой сумме заменяли сумму двух чисел на их разность. Но сумма и разность двух целых чисел имеют одинаковую четность, поэтому общая сумма записанных чисел останется четной. Следовательно , эта сумма равной 1 быть не может.
Ответ:не может

Answer 2

Да, можно зачеркнуть несколько чисел так, чтобы среди оставшихся 90 чисел не нашлось ни одной арифметической прогрессии из 10 чисел.

Для этого мы можем зачеркнуть числа, которые образуют арифметическую прогрессию с разностью 1. Например, мы можем зачеркнуть числа от 1 до 10. Теперь у нас остается 90 чисел, и ни одна из них не образует арифметическую прогрессию из 10 чисел с разностью 1.

Также, мы можем зачеркнуть числа, которые образуют арифметическую прогрессию с разностью 2. Например, мы можем зачеркнуть числа от 2 до 20 с шагом 2. Теперь у нас остается 90 чисел, и ни одна из них не образует арифметическую прогрессию из 10 чисел с разностью 2.

Мы можем продолжать этот процесс и зачеркивать числа, образующие арифметическую прогрессию с различными разностями, чтобы убедиться, что среди оставшихся 90 чисел не будет ни одной арифметической прогрессии из 10 чисел.

Важно отметить, что для каждой разности арифметической прогрессии мы можем зачеркнуть только одну последовательность чисел. Если мы зачеркнем две последовательности чисел с одинаковой разностью, то останется меньше 90 чисел, и, возможно, среди них будет арифметическая прогрессия из 10 чисел.

Таким образом, мы можем зачеркнуть несколько 10 чисел так, чтобы среди оставшихся 90 чисел не нашлось ни одной арифметической прогрессии из 10 чисел.