Question

Найти сумму всех трехзначных чисел

Answer 1

111+222+333+444+555+666+777+888+999=4996

Answer 2

Чтобы найти сумму всех трехзначных чисел, нужно сложить все такие числа в заданном диапазоне. Трехзначные числа имеют форму XYZ, где X, Y и Z - цифры от 0 до 9.

1. X может быть от 1 до 9 (ноль не допускается ведущей цифрой, так как число трехзначное). 2. Y и Z могут быть от 0 до 9 (любые цифры от 0 до 9).

Таким образом, сумма всех трехзначных чисел будет выглядеть следующим образом:

\[S = \sum_{X=1}^{9} \sum_{Y=0}^{9} \sum_{Z=0}^{9} XYZ\]

Мы можем упростить это выражение, учитывая, что \(X, Y, Z\) представляют собой цифры:

\[S = \sum_{X=1}^{9} \sum_{Y=0}^{9} \sum_{Z=0}^{9} (100X + 10Y + Z)\]

Теперь выполним вычисления.

1. Сумма по \(Z\): \[S_Z = \sum_{Z=0}^{9} Z = 0 + 1 + 2 + \ldots + 9 = \frac{9 \cdot (9 + 1)}{2} = 45\]

2. Сумма по \(Y\): \[S_Y = \sum_{Y=0}^{9} 10Y \cdot S_Z = 10 \cdot S_Z \cdot \sum_{Y=0}^{9} Y = 10 \cdot S_Z \cdot \frac{9 \cdot (9 + 1)}{2} = 10 \cdot 45 \cdot 45 = 20250\]

3. Сумма по \(X\): \[S_X = \sum_{X=1}^{9} 100X \cdot S_Y = 100 \cdot S_Y \cdot \sum_{X=1}^{9} X = 100 \cdot S_Y \cdot \frac{9 \cdot (9 + 1)}{2} = 100 \cdot 20250 \cdot 45 = 91125000\]

Таким образом, сумма всех трехзначных чисел равна \(S_X = 91125000\).